Уравнение Бернулли  для струйки идеальной жидкости - Уравнение Бернулли, его физический и геометрический смысл

Воспользуемся дифференциальными уравнениями движения

                                       (1)

Умножим первое уравнение на dx, второе – на dy, третье – на dz.

                        (2)

В результате сложения уравнений (2), получим

 (3)

Будем рассматривать струйку, которая при установившемся движении

является траекторией движения частиц. В этом случае dx, dy, dz будут

проекциями элементарного пути dL, проходимого частицами за время dt,

т.е. dx=uxdt, dy=uydt, dz=uzdt. Подставим эти значения в левую часть урав-

нения (3). Учитывая, что полная скорость u2 выражается через состав-

ляющие по осям координат u2 = ux2 + uy2 + uz2 , запишем

В правой части уравнения (3) выражение Xdx+Ydy+Zdz=dU – является полным дифференциалом силовой функции U.

Т.к. рассматривается установившееся движение, при котором гидродинамическое давление не зависит от времени, то трехчлен в скобках

уравнения (3) представляет собой полный дифференциал давления:

Итак, уравнение (3) можно привести к виду:

или

                                  (4)

Уравнение (4) устанавливает связь между скоростью u, давлением p

и силовой функцией U для любого сечения струйки движущейся жидко-

сти.

Проинтегрировав уравнение (4), получим

 (5)

Т.е. для двух любых сечений элементарной струйки

 (6)

Рассмотрим частный случай, когда из внешних объемных (массовых)

сил на жидкость действует только сила тяжести. Тогда, силовая функция, соответствующая силе тяжести, может быть представлена, следую-

щим образом:

U = −gz .

Подставляя значение U в уравнение (6), получим

 (7)

Ранее отмечалось, что все слагаемые отнесены к единице массы. Отнесем слагаемые уравнения (7) к единице веса жидкости, помня, что вес

единицы массы равен g. Разделив левую и правую части уравнения на g,

получим

 (8)

Зависимость (8) является уравнением Бернулли для элементарной

струйки идеальной жидкости, которое устанавливает связь между скоро-

стью движения u, давлением p и геометрическим положением сечений

струйки z. Впервые это уравнение получено Даниилом Бернулли в 1738 г.

в результате применения к движущейся жидкости закона сохранения

энергии. Оно позволяет решать многие практические задачи гидравлики.