Проникновение математических методов в самые разнообразные, подчас неожиданные сферы человеческой деятельности означает возможность пользоваться новыми, как правило, весьма плодотворными средствами исследования. Рост математической культуры специалистов в соответствующих областях приводит к тому, что изучение общих теоретических положений и методов вычислений уже не встречает серьёзных трудностей. Вместе с тем на практике оказывается, что одних лишь математических познаний далеко не достаточно для решения той или иной прикладной задачи – необходимо ещё получить навыки в переводе исходной формулировки задачи на математический язык. В этом и состоит проблема овладения искусством математического моделирования.
Холл (1963) сказал, что целью прикладной математики является математическое осмысление действительности. С другой стороны, инженеру-практику, пожалуй, более важно знать, выдержит ли его мост предполагаемую нагрузку, хватит ли закупленного угля до конца отопительного сезона и не лопнет ли лопатка в турбине, - иными словами, получить конкретные ответы на конкретные вопросы. В практике математического моделирования исходным пунктом часто является некоторая эмпирическая ситуация, выдвигающая перед исследователем задачу, на которую требуется найти ответ. Прежде всего, необходимо установить, в чём именно заключается задача. Часто (но не всегда) параллельно с этой стадией постановки задачи идёт процесс выявления основных или существенных особенностей явления. В частности для физических явлений этот процесс схематизации или идеализации играет решающую роль поскольку в реальном явлении участвует множество процессов и оно чрезвычайно сложно. Некоторые черты явления представляются важными многие другие – несущественными. Возьмём к примеру движение маятника, образованного тяжёлым грузом, подмешанным на конце нити. В этом случае существенным является регулярный характер колебаний маятника, а несущественным – то, что нить белая, а груз чёрный. После того как существенные факторы выявлены, следующий шаг состоит в переводе этих факторов на язык математических понятий и величин и постулировании соотношений между этими величинами. После построения модели её следует подвергнуть проверке. Адекватность модели до некоторой степени проверяется обычно в ходе постановки задачи. Уравнения или другие математические соотношения, сформулированные в модели, постоянно сопоставляются с исходной ситуацией. Существует несколько аспектов проверки адекватности. Во-первых, сама математическая основа модели (которая и составляет её существо) должна быть непротиворечивой и подчиняться всем обычным законам математической логики. Во-вторых, справедливость модели зависит от её способности адекватно описывать исходную ситуацию. Модель можно заставить отражать действительность, однако она не есть сама действительность.
Говоря о России, можно вспомнить, что наука математического моделирования развивается с 1960-х гг. и имеет большие традиции. Но для нас сейчас важно другое - часть накопленного тогда потенциала, получившая развитие в теории управления и ее применениях, до сих пор остается "невостребованной" современной наукой о моделировании в ее "чистом" виде.
Отметим, что многие фундаментальные проблемы прикладного моделирования впервые были выявлены И.А.Полетаевым. Он первым обратил внимание на утилитарность математических моделей, дав оригинальную классификацию моделей по целям их использования: "поисковая" модель - для проверки гипотез, "портретная", она же - демонстрационная, - для замены объекта в эксперименте (например, для тренажеров - что в то время рассматривалось едва ли не как научная фантастика) и, наконец, "исследовательская модель", что в современном понимании означает ориентацию на сложный вычислительный эксперимент.
В другой работе И.А.Полетаев поднял еще один столь же важный круг вопросов – о принципиальной "субъективности" математического моделирования. По меньшей мере, два его высказывания и сегодня заслуживают внимания. В задаче математического моделирования «кроме объекта моделирования и модели, обязательно присутствует субъект моделирования, лицо, усилиями и в интересах которого осуществляется модель». Роль субъекта моделирования оказывается решающей, ибо именно его цели, интересы и предпочтения формируют модель.
Создание модели нужно не само по себе, а для решения практических задач, что только и может оправдать затрату сил на создание модели. Модель создается для того, чтобы работать: «Только полная реализация модели с ее "прогоном" через расчеты полностью окупает затраты на моделирование».
Моделирование как познавательный приём неотделимо от развития знания. Практически во всех науках построение и использование моделей является мощным орудием познания. Реальные объекты и процессы бывают столь многогранны и сложны, что лучшим способом их изучения часто является построение модели, отображающей какую-то грань реальности и потому многократно более простой, чем эта реальность, и исследование вначале этой модели.
Многовековой опыт развития науки доказал на практике плодотворность такого подхода. Однако моделирование как специфическое средство и форма научного познания не является изобретением 19 или 20 века. По существу, моделирование как форма отражения действительности зарождается в античную эпоху одновременно с возникновением научного познания. Однако в отчётливой форме (хотя без употребления самого термина) моделирование начинает широко использоваться в эпоху Возрождения; Брунеллески, Микеланджело и другие итальянские архитекторы и скульпторы пользовались моделями проектируемых ими сооружений; в теоретических же работах Г. Галилея и Леонардо да Винчи не только используются модели, но и выясняются пределы применимости метода моделирования.
И. Ньютон пользуется этим методом уже вполне осознанно, а в 19 веке трудно назвать область науки или её приложений, где моделирование не имело бы существенного значения. Исключительно большую методологическую роль сыграли в этом отношении работы Кельвина, Дж. Максвелла, Ф. А. Кекуле, А. М. Бутлерова и других физиков и химиков — именно эти науки стали, можно сказать, классическими «полигонами» метода моделирования.
Многочисленные факты, свидетельствующие о широком применении метода моделирования в исследованиях, некоторые противоречия, которые при этом возникают, потребовали глубокого теоретического осмысления данного метода познания, поисков его места в теории познания. Этим можно объяснить большое внимание, которое уделяется философами различных стран этому вопросу в многочисленных работах. В таком случае, определение моделирования может быть сформулировано так.
«Моделирование-это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система:
1) находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом;
2) способная замещать его в определенных отношениях;
3) дающая при её исследовании, в конечном счете, информацию о самом моделируемом объекте» (три перечисленных признака, по сути, являются определяющими признаками модели)
Под «моделью» в педагогике и психологии понимается система объектов или знаков, воспроизводящая некоторые существенные свойства, качества и связи предметов.
При экспериментальном обследовании дошкольников (П.Я. Гальперин, А.В. Запорожец, С.Н. Карпова, Д.Б. Эльконин) выяснилось, что многие знания, которые ребёнок не может усвоить на основе словесного объяснения взрослого или в процессе организованных взрослым действий с предметами, он легко усваивает, если эти знания дают ему в виде действий с моделями, отражающими существенные черты изучаемых явлений. Например, при обучении детей 5-летнего возраста математике возникают трудности при ознакомлении их с отношением частей и целого. Словесные объяснения дети не понимают, а, действуя с составными предметами, усваивают название «часть» и «целое» только применительно к данному конкретному материалу и не переносят их на другие случаи. И лишь при помощи схематического изображения деления целого на части и его восстановление из частей дети поняли, что любой целый предмет может быть разделён на части и восстановлен из частей.
Моделирование как наглядно-практический метод получает всё большее распространение в обучении детей дошкольного возраста.
Под моделированием понимается процесс создания моделей (вместе с детьми) и их использования в целях формирования знаний о свойствах, структуре, отношениях, связях объектов.
Особенности моделирования как метода обучения в том, что оно делает наглядным скрытые от непосредственного восприятия свойства связи, отношения объектов, которые являются существенными для понимания фактов, явлений, при формировании знаний, приближающихся по содержанию к понятиям. Например, знакомя дошкольников со свойствами воды, мы можем показать им, как лёд превращается в воду, а вода в пар, и объясняем это тем, что в тепле лёд тает, а при нагревании на огне вода начинает кипеть, и образуется пар. Но ведь мы называем только условия превращения, не объясняя, как это происходит. Даже если мы им объясним, что все предметы состоят из молекул, и молекулы твёрдых веществ наиболее плотно расположены друг к другу, а молекулы жидких веществ находятся на более далёком расстоянии и т.д., дошкольник не способен понять это, т.к. его абстрактное мышление находится в стадии образования.
Не можем мы ему и показать расположение этих молекул, т.к. в этом случае нам бы понадобился сверхмощный микроскоп. Вот тут то нам приходит на помощь метод моделирования «маленькими человечками». Рассказывая ребёнку, как плотно стоят друг к другу и крепко держатся за руки «человечки льда», им очень тяжело разжать руки, поэтому лёд трудно расколоть, а «человечки воды» стоят так же плотно, но за руки не держатся, поэтому наши руки свободно проходят сквозь воду, совсем другие «человечки пара», они очень шаловливые, никак устоять на месте не могут, разбегаются в разные стороны, поэтому пар быстро распространяется по всему помещению, и наши руки, когда мы проводим по пару, не ощущают сопротивления, мы закладываем у него основы физического строения тел твёрдых, жидких и газообразных.
Доступность метода моделирования для дошкольников показана была психологами А.В. Запорожцем, Л.А. Венгером, Н.Н. Подьяковым, Д.Б. Элькониным. Она определяется тем, что в основе моделирования лежит принцип замещения: реальный предмет может быть замещён в деятельности детей другим предметом, изображением, знаком.
При дальнейшем рассмотрении моделей и процесса моделирования будем исходить из того, что общим свойством всех моделей является их способность, так или иначе, отображать действительность. В зависимости от того, какими средствами, при каких условиях, по отношению к каким объектам познания это их общее свойство реализуется, возникает большое разнообразие моделей, а вместе с ним и проблема классификации моделей.
Поможем написать любую работу на аналогичную тему