Для начала построим матрицу плотности для взаимодействия «двухуровневая система + классическое поле». - вектор состояния верхнего рабочего уровня, - нижнего. Эти векторы являются собственными состояния невозмущённого гамильтониана, который имеет вид:
(2.2)
Для его получения воспользовались соотношением полноты . Начало отсчёта энергий выбрано на одинаковом расстоянии между верхним и нижним уровнем (). Теперь запишем дипольное взаимодействие системы с классическим полем. Его гамильтониан:
, (2.3)
Здесь - матричный элемент дипольного момента, е - заряд электрона.
Зависящая от времени волновая функция системы имеет вид:
+ , (2.4)
или в представлении энергетического спина:
(2.5)
В представлении энергетического спина матрица плотности двухуровневой системы в классическом поле записывается в виде:
(2.6)
Диагональные элементы матрицы плотности являются вероятностями обнаружить систему либо в основном, либо в возбуждённом состоянии ( = 1). Конкретно в этой задаче внедиагональные элементы матрицы определяют поляризацию системы. Средний дипольный момент системы:
(2.7)
Напомним, что в нашей постановке задачи рассматриваются только электронные состояния системы.
Используя известное уравнение для элементов матрицы плотности без учёта эффекта спонтанной релаксации :
, (2.8)
и воспользовавшись представлением гамильтониана системы «двухуровневая система + классическое поле», записанном через матрицы Паули
, (2.9)
, , , (2.10)
запишем уравнение для матрицы плотности (2.6) без учёта релаксации:
. (2.11)
Далее, используя очевидные соотношения для элементов матрицы плотности:
, (2.12)
получим систему дифференциальных уравнений для заселённости возбуждённого состояния и его когерентности:
(2.13)
Уравнения (2.11), (2.13) называются уравнениями Лиувилля. Безусловно, когерентное взаимодействие двух рабочих уровней с полем можно рассматривать и в рамках формализма волновой функции.
Поможем написать любую работу на аналогичную тему
Реферат
Гамильтониан системы «атом + классическое поле». Матрица плотности двухуровневой системы.
От 250 руб
Контрольная работа
Гамильтониан системы «атом + классическое поле». Матрица плотности двухуровневой системы.
От 250 руб
Курсовая работа
Гамильтониан системы «атом + классическое поле». Матрица плотности двухуровневой системы.
От 700 руб