Режим слабого насыщения. Спектр поглощения.

            При больших временах () оптические уравнения Блоха (2.19) имеют установившиеся периодические решения, которые не зависят от начальных условий, и, к тому же, единственны . Чтобы решить аналитически уравнения Блоха воспользуемся режимом слабого насыщения . Выберем параметры задачи так, чтобы .

            Исходя из этого приближения, можем утверждать, что система поглощает небольшое количество резонансных фотонов, т.е. заселённость верхнего уровня мала, по сравнению с заселённостью основного состояния. Пренебрегаем в уравнении Блоха для когерентности заселённостью возбуждённого состояния по сравнению с единицей:

                                       (3.1)

            Заметим, что уравнение для когерентности является линейным дифференциальным уравнение с неоднородностью и легко решается аналитически методом вариации постоянной. Также при решении воспользуемся разложением неоднородной части в тригонометрический ряд Фурье, где коэффициентами ряда будут функции Бесселя аргумента индекса модуляции:

                                        (3.2)

            Находим решение уравнения для когерентности в квадратурах:

                                 (3.3)

          Сделаем замену переменных:  , перейдём к интегрированию по переменной в пределах от нуля до плюс бесконечности. После интегрирования получим установившуюся когерентность, которая будет имет вид:

                                                                                (3.4)

            Полученное решение является установившимся осциллирующим решением уравнения Блоха для когерентности возбуждённого состояния. Для нахождения установившейся населённости подставим выражение (3.4) в первое уравнение системы (3.1) и разложим экспоненты в ряд Фурье. Легко заметить, что полученное уравнение для населённости также является линейным с неоднородностью, зависящей от времени. Его решение в квадратурах примет вид:

        (3.5) 

            Делаем замену переменных, как при решении уравнения для когерентности, имеем:

    (3.6) 

Интегрируем, получаем:

                 (3.7)

            При переходе к новой переменной суммирования  суммирование по переменной  будет в тех же пределах, что и по .

                        (3.8)

Таким образом получили решение уравнения Блоха для заселённости возбуждённого состоянии в режиме слабого насыщения.

Выражение (3.8) можно переписать в виде:

                                                     (3.9)