Вычисление погрешностей измерений.

Прямые измерения.

а) При вероятности Р = 1 находят предельные значения погрешности измерения Δп путём арифметического суммирования предельных значений составляющих Δi,п:

Δп = ± .                                                         (20)

Составляющими могут быть:

– основная погрешность Δо,п;

– дополнительные погрешности Δд,п;

– погрешность отсчитывания Δотс,п;     

– погрешность взаимодействия Δвз,п.

При таком способе суммирования плохо то, что получается сильное завышение погрешности, ибо очень мало вероятно, чтобы все составляющие оказались на своих пределах и были при этом одного и того же знака (плюс или минус). Зато этот способ даёт полную гарантию.

б) При вероятности Р < 1, например, при Р = 0,95, находят граничные значения погрешности измерения Δгр путём статистического суммирования предельных значений составляющих Δi,п:

     Δгр = ± К.                                                  (21)

Значение К зависит от законов распределения случайных величин Δi и от задаваемого значения вероятности Р. Если законы распределения неизвестны, рекомендуется принять, что для всех составляющих это закон равномерной плотности. При этом из теории вероятностей следует, что значения К при разных значениях Р соответствуют приведённым в таблице 1:

Таблица 1.

Значение Δгр может быть существенно меньше по сравнению с Δп, хотя Р близко к единице. Максимальное снижение Δгр по сравнению с Δп будет, если все Δi,п одинаковы:

Δi,п =А.

При Р = 1 получим

Δп = ± nA,

а при Р < 1

Δгр = ± К= ± КА,

т.е.

 =

например, при n = 4 и К = 1,1 различие между предельным и граничным значениями получается примерно в два раза.

Если, наоборот, какая-нибудь из Δi сильно преобладает над остальными, то

Δгр ≈ Δп.

Косвенные измерения.

                   Для вычисления погрешности мы располагаем известной функциональной зависимостью результата косвенного измерения Y от аргументов   Х1; Х2;…Хn:

Y = f (Х1; Х2;…Хn).

Пример: R = здесь Y = R; Х1 = U; X2 = I.

                   Требуется найти погрешность ΔY, происходящую от погрешностей ΔХ1; ΔХ2;… ΔХn.

                   Упростим обозначения: ΔY = Δ; ΔХ1 = Δ1; ΔХ2 = Δ2;… ΔХn = Δn.

                   Для решения нашей задачи в математике есть т.н. «формула полного дифференциала»:

         .                   (22)

Предельные значения Δ:

        Р = 1.                                               (23)

Частные случаи.

1) Y = a1X1 + a2X2 +...+anXn = , т.е. Y – линейная функция аргументов Х1; Х2;…Хn. В данном случае , следовательно,

и

.                                                (24)

Примеры:

а) Y = X1 + X2; здесь a1 = а2 = 1; Δ = Δ1 + Δ2; Δп = ± (|Δ1,п| + |Δ2,п|); Р = 1.

б) Y = X1 – X2; здесь a1 = 1; а2 = – 1; Δ = Δ1 – Δ2; Δп = ± (|Δ1,п| + |Δ2,п|); Р = 1.

Итак, Δп для суммы и разности одинаковы.

2) Y =  где а1; а2;…аn – действительные числа, положительные и отрицательные, целые и дробные.

Пример: Y = ; здесь а1 = 2; а2 = – 0,5.

Частные производные:

Далее:

Следовательно,

Δ = Y(a1δ1 + a2δ2 + ...+ anδn);

δ = .

Предельные значения:

                                                 (25)

Примеры:

а) Y = X1X2; здесь а1 = а2 = 1; δ = δ1 + δ2; δп = ± (|δ1,п| + |δ2,п|); P =1.

б) Y =  здесь а1 = 1; a2 = – 1; δ = δ1 – δ2; δп = ± (|δ1,п| + |δ2,п|); P =1.

Итак, δп для произведения и частного одинаковы.

Объединяя наши четыре примера, можно сказать так:

Для суммы и разности надо суммировать предельные значения абсолютных погрешностей, для произведения и частного – предельные значения относительных погрешностей.

          Мы рассмотрели арифметическое суммирование при Р = 1. При Р < 1 применяют статистическое суммирование:

       ,                                          (26)

где К зависит от задаваемого значения вероятности Р так же, как при прямых измерениях (см. табл. 1).

          Каждый может написать формулы для Δгр для рассмотренных выше частных случаев.

Пример.

Требуется определить мощность Р, выделяющуюся в резисторе с номинальным значением сопротивления Rном = 1 кОм с предельно допускаемыми отклонениями от этого номинала ± 1,0 %. Резистор подключён к источнику напряжения постоянного тока. Параллельно резистору постоянно подключён вольтметр класса точности 0,5 с диапазоном измерения от 0 до 15 В и он показывает значение напряжения U = 6,0 В.

Решение. Р = 6210-3 Вт = 0,036 Вт = 36 мВт. В соответствии с (25)

δп = 2 δU,п + δR,п, где δU,п  и δR,п – предельные относительные погрешности вольтметра и резистора. Из условия γR,п = ± 1,0 %, а δU,п = γU,пUN/U = ± 0,5·15/6 = 1,25 %. Следовательно,

δп = ± (2·1,25 + 1,0) = ± 3,5 %; Δп = 0,01 δпР = ± 0,01·3,5·25 = ± 0,875 мВт ≈ ± 0,86 мВт.

            Ответ: (36,00 ± 0,86) мВт при вероятности 1.