Уравнения Эйлера для покоящейся жидкости.

Рассмотрим равновесие жидкости (рис.11). Возьмем точку  и выделим около нее параллелепипед со сторонами , , . Обозначим внешние силы, отнесенные к единице массы через . Внешними силами здесь будут:

- объемные, пропорциональные массе параллелепипеда;

- силы гидростатического давления, действующие на грани параллелепипеда со стороны окружающей жидкости.

Рассмотрим сначала силы, действующие на жидкий параллелепипед по оси X.

Проекция объемных    сил  на ось X будет равна:

;

Следовательно,    проекции объемных сил на все оси:

Гидростатическое давление в точке В обозначим , а в точке С - через . Если давление изменяется по линейному закону и непрерывно, тогда:

  ;  

где  - градиент гидростатического давления;

Р - давление в точке А.

Силы, действующие на грани равны:

;

Составим уравнение равновесия исследуемого нами жидкого объема относительно оси X:

Уравнение равновесия после подстановки и преобразования сможем записать в виде:

Окончательно уравнение равновесия относительно оси X будет иметь вид:

Аналогично получим уравнение равновесия относительно осей Y и Z и запишем полную систему уравнений, которые называются уравнениями Эйлера.

Впервые они были выведены в 1775 г. и выражают закон распределения гидростатического давления в дифференциальной форме.

Для дальнейшего преобразования, умножим каждое из уравнений системы на , , , соответственно

2.      Основное уравнение гидростатики

Рассмотрим наиболее важный для практики частный случай равновесия жидкости, находящейся под действием только сил тяжести. Давление на поверхности будем считать известным и равным , отличным от атмосферного.

Так как на жидкость действует только сила тяжести то:

(ускорения по осям X и Y отсутствуют, а то оси Z, ускорение свободного падения направлено вниз, поэтому ).

Подставим    X, Y, Z    в уравнения Эйлера (первые два уравнения обращаются в нуль) и получим:

        .

После интегрирования    .

Для вычисления постоянной интегрирования С, подставив граничные условия  и получим её значение:

а подставив С в полученное выше уравнение, запишем:

.

Уравнение выражает закон сохранения энергии в покоящейся жидкости. Сумма удельной потенциальной энергии положения Z и удельной потенциальной энергии давления  есть величина постоянная во всех точках данной покоящейся жидкости.