Поделись с друзьями
Нужна помощь в написании работы?

    Основной частью большинства измерительных приборов является икала с нанесенными на ней делениями. Погрешность таких приборов составляет, как уже отмечалось, величину порядка половины цены деления шкалы в той ее части, где производится отсчет (шкала может быть и неравномерной). Поэтому, как правило, не следует стараться при измерениях оценивать на глаз малые доли деления, тем более, что при изготовлении прибора шкала обычно наносится в соответствии с его классом точности (см. ниже).

   Для существенного повышения точности измерений в ряде приборов помимо основной имеется дополнительная шкала, называемая нониусом. Обычно это маленькая линейка с делениями, скользящая вдоль основной шкалы. Деления на нониусе наносят таким образом, что одно деление нониуса составляет  деления основной шкалы, где m — число делений нониуса. Если масштаб мелкий, то деления нониуса делают более крупными, равными   делений основной шкалы. И в том, и в другом случае оказывается, что при любом положении нониуса один из его штрихов совпадает с каким-либо штрихом основной шкалы. Отсчет по нониусу основан на способности глаза достаточно точно  фиксировать это совпадение. Поэтому, пользуясь нониусом, можно производить отсчеты с точностью до  части наименьшего деления основной шкалы.

    Особую роль играет оценка погрешностей, возникающих при использовании электроизмерительных приборов. В этом случае измерение каждой величины проводится, как правило, только один раз, и точность его определяется погрешностью используемого прибора. При электрических измерениях помимо абсолютной погрешности ΔX, равной разности между показанием прибора и действительным (истинным) значением измеряемой величины, и относительной погрешности оценивается также приведенная погрешность. Она равна отношению абсолютной погрешности к предельному значению величины, т.е. наибольшему ее значении, которое можно измерить по шкале прибора |ΔXm| . Наибольшее значение приведенной погрешности, соответствующее максимально абсолютной погрешности, допускаемой данным прибором, называется классом точности:

                                                              (10)

Согласно ГОСТ 1845-52, электроизмерительные приборы делятся на семь классов точности : 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1.8;

2,5; 4,0. Значение класса точности помещается на лицевой стороне прибора. Зная К, можно найти наибольшую абсолютную погрешность :

                                                                 (11)

    При измерениях электрических величин могут быть использованы приборы различных систем. Наиболее употребительны приборы магнитоэлектрической системы, электромагнитные, электродинамические и тепловые приборы. У приборов магнитоэлектрической системы, основанных на действии магнитного поля постоянного магнита на рамку с током, угол поворота рамки пропорционален протекающему по ней току. Поэтому Чувствительность таких приборов постоянна, а измерительная шкала равномерна. Приборы других систем характеризуются неравномерной шкалой. Однако абсолютная погрешность остается постоянной во всём диапазоне измерений.

    Что касается относительной погрешности, то она будет тем больше, чем меньше измеряемая величина. Следовательно, нужно избегать таких измерений, при которых измеряемая величина намного меньше ее предельного значения Хm  . Иными словами, желательно, чтобы при измерении стрелка прибора отклонялась по возможности на больший угол. Если же искомое значение приходится отсчитывать в самом начале шкалы, следует воспользоваться более чувствительным прибором. Особенно удобны приборы с несколькими пределами измерений, позволяющее производить измерения в различных диапазонах с наибольшей точностью.

    Оценка погрешностей при косвенных измерениях При косвенных измерениях искомая физическая величина А является функцией величин  Х , У , Z ...., которые могут быть получены с помощью прямых измерений. Результат косвенного измерения записывается в виде :

А  ± ΔА              (12)

где A = ƒ(X, Y, Z, …)   - значение искомой величины, рассчитанное по средним значениям параметров X , Y, Z, ..., каждый из которых измеряется, как правило, по несколько раз. ΔА  - абсолютная погрешность косвенного измерения. зависящая от погрешностей параметров  X  , Y  , Z, ... ( т.е. от  ΔХ , ΔY ,  ΔZ ,  ...).

В простейших случаях абсолютную и относительную погрешность косвенных измерений подсчитать нетрудно. Рассмотрим несколько примеров.

Пусть   А = Х + У     . Если известны погрешности ΔX и ΔY , то

Максимальное значение погрешности равно при этом

ΔА = ΔX + ΔY.                                                               (13)

Такова ие будет максимальная абсолютная погрешность при

А = X – Y.  Таким образом, относительные погрешности величин, являющихся суммой или разностью двут! параметров, равны соответственно :

      и                                      (14)

Пусть теперь  A = X.Y   - тогда

Пренебрегая слагаемым второго порядка малости |ΔX. ΔY| имеем :

                                                               (15)

     или                                   (16)

Если , то

Максимальное значение погрешности ΔА     получится в случае, если погрешности в числителе и в знаменателе данного выражения взять с разными знаками. Тогда можно записать :

Здесь мы пренебрегли членами (ΔY)2 и ΔX. ΔY . Максимальная абсолютная погрешность равна в этом случае

,                  (17)

а относитедьная погрешностс, как и в (16), равна

Полученные результаты легко обобщаются на произвольное количество сомножителей. Если в самом общем случае

,

где С — постоянный коэффициент, а α, β, γ, ... — любые целые или дробные числа, то относительную погрешность косвенного измерения величины А   можно эаплеать в виде :

                (18)

      Простота последнего выражения указывает на то, что в большинстве случаев удобно оценить сначала  относительную погрешность косвенного измерения, а потом уже найти его абсолютную погрешность. Следует, однако, обратить внимание на то обстоятельство, что приведенные формулы применимы только в том случае, если параметры X , Y , Z ,  .... не зависят друг от друга. Если же, к примеру,   , где Z = X + Y расчет по формуле (18) приведет к неправильному результату, т.к. погрешности одной и той же величины Y будут приписаны различные знаки, поскольку указанная величина фигурирует как в числителе, так и в знаменателе исходного выражения.

    Более общие правила вычисления погрешностей, позволяющие избежать подобных ошибок, можно получить, используя дифференциальное исчисление.

Пусть по-прежнему  A = ƒ(X, Y, Z, …) . Тогда относительную погрешность косвенного измерения  можно записать в виде . С другой стороны,      Таким образом, относительая погрешность величины А  равна полному дифференциалу натурального логарифма функции, определяющей зависимость данной величины от измеряемых, т.е.

Таким образом, для нахождения  необходимо:

1)      прологарифмирэвать исходную формулу ln A = ln ƒ(X, Y, Z, …)

2)  продифференцировать полученное уравнение, заменив затем дифференциалы dA  , dX , dY  ... погрешностями  ΔA , ΔX , ΔY , ... ;

3)  сгруппировать члены, содержащие одни и те же погрешности, вынести эти погрешности за скобки, а выражения в скобках взять по модулю;

4) заменить знаки “-” перед коэффициентами при погрешностях на знак “+” (для нахождения максимального значения Е).

Общая формула для расчета относительной погрешности будет при этом выглядеть следующим образом:

,                  (19)

     В качества примера приведем оценку относительной погрешности величины γ, вычисляемой по формуле , где средние значения параметров, полученные после проведения серии измерений (отсчеты по шкале манометра в работе 1.65 ).

Надо сказать, что расчет по формуле (20) приводит, как правило, к завышению погрешности результата косвенных измерений. Причем это завышение зависит от числа параметров Х  , Y  , Z ,  ... Если, например, имеется пять таких параметров, то вероятность того, что все ошибки будут иметь заданный знак  равна . При большем их числе указанная вероятность будет еще меньше. Таким образом, понятно, что максимально возможное значение относительной погрешности, даваемое выражением (20), во многих случаях значительно больше реальной погрешности результата.

Теория вероятностей дает более правильные формулы для оценки погрешностей косвенных измерений. Если при прямых измерениях параметров X , Y  , Z ... доминирующей является случайная погрешность, то погрешность косвенного измерения также является случайной величиной. Это означает, что следует искать среднюю квадратичную погрешность результата. Так, если A = X + У , то вместо выражений (13) и (14) будем иметь :

   и          (21)

Общая формула для расчета относительной погрешности будет в этом случае иметь следующий вид :

                            (22)

или    

                  (23)

В частности, при  имеем:

                                   (24)

Следует подчеркнуть, что расчет погрешностей по формулах (22) - (24) желательно производить в тех случаях, когда погрешности измеряемых параметров имеют, в основном, случайный характер. В условиях же, например, учебной лаборатории. ввиду несовершенства измерительных приборов приходится главным образом иметь дело с приборными погрешностями. При этом большинство величин, входящих в расчетную формулу, измеряются только один раз. К тому же общее число параметров обычно невелико. Поэтому можно рекомендовать для оценки погрешностей косвенных измерений более простые формулы (13) – (20).

Очень часто в выражении, используемом для определения искомой величины, встречаются параметры, которые в данном эксперименте непосредственно не измеряются. Это могут быть табличные величины (π , g , и т.п.), либо величины, определенные кем-либо заранее и представленные в виде готового результата (например, масса гири или диаметр катушки, заключенной внутри установки). Поскольку указанное величины не являются абсолютно точным, следует учесть вклад соответствующих погрешностей в погрешность вычисляемого результата (см. работы 1.01, 1.25).,

Для оценки погрешности в этих случаях (если, конечно, последняя не задана в явном виде) может быть рекомендовано следующее общее правило: абсолютная погрешность берется равной половине единицы наименьшего разряда, представленного в числе. Так, если задана плотность жидкости

ρ = 4,0380·103 кг/м3, то погрешность следует взять равной 0,00003 кг/м3

Указанный способ оценки погрешностей вытекает из того факта, что последняя цифра в числе уже не является в большинстве случаев точной (смотри ниже правила округления). Что касается табличных величин, то они при необходимости могут быть взяты с очень большой точностью. Тогда связанными с ними ошибками пренебрегают. При значительном же округлении этих величин погрешности возрастают и, в принципе, должны быть учтены. Их расчет обычно ведется по общему правилу, т.е. если используется значение π = 3,14, то Δπ = 0,005.

Рассчитав окончательно относительную погрешность Е , находят затем абсолютную погрешность косвенного измерения ΔА = Е·А.                 (25)

Обработка результатов измерений

Все экспериментальные данные, получаемые в результате прямых измерений, должны быть занесены в специальную таблицу ( или таблицы). Для величин, значения которых измерялись по нескольку раз, необходимо подсчитать среднее арифметическое серии измерений. При этом следует пенить, что точность обработки числового материала должна быть согласована с точностью самих измерений. Обычно при вычислении средних значений рекомендуется оставлять на одну значащую цифру больше, чем содержится в непосредственно измеренных значениях.

     Затем необходимо произвести оценку случайной погрешности. Используемые для расчетов средней квадратичной ошибки значения  ΔXi и (ΔХi)2 удобно поместить в ту же таблицу, где находятся результаты опытов (т.е. значения Xi). Для сравнения там же обычно указывают и погрешности использовавшихся приборов.

     Расчет конечного результата измерений, которые являются в большинстве случаев косвенными, производится один раз. При этом в расчетную формулу подставляются средние значения измеренных параметров. Дальнейшая обработка сводится к вычислению относительной и абсолютной погрешностей по изложенной методике.

     Для правильной записи конечного  результата в виде (12) необходимо округлить значение абсолютной погрешности и сам результат измерений. Как правило, точность оценки погрешности оказывается очень небольшой, особенно в тех случаях, когда число входящих в расчетную формулу параметров велико. Поэтому абсолютная погрешность округляется, как правило, до одной значащей цифры. Если, однако, эта цифра оказалась единицей, следует оставить две значащие цифры.

     Округление самой измеренной величины следует проводить, учитывая ее абсолютную погрешность. При этом последняя значащая цифра в приводимом результате должна быть того же порядка величины (находиться в той же десятичной позиции), что и погрешность. Все более мелкие разряды не несут никакой информации и должны быть отброшены (или заменены нулями).       Особенно строго следует придерживаться этого правила в тех случаях, когда погрешность не указывается в явном виде, так как именно последний разряд числа, дающего значение физической величины, показывает точность ее определения. Или, например, в результате расчетов получено, что  J = 0,1428 кг·м3, ΔJ = 0,00791 кг·м3, то правильная запись конечного результата будет выглядеть так :

J = 0,014 ± 0,008 кг·м3.

    В некоторых случаях при обработке результатов измерений удобно пользоваться графическим методом. Этот метод позволяет проследить зависимость одной физической величины от другой (например, зависимость периода колебаний физического маятника от расстояния  между его центром масс и осью вращения ). Иногда построение графиков необходимо для определения усредненных значений тех или иных параметров. ( Можно, к примеру, найти ускорение тела по графику зависимости пути от квадрата времени).

     При построении графиков обычно используется прямоугольная систем координат с равномерным масштабом по осям Х и Y. Значения аргумента следует откладывать по оси X , а значение функции - по оси Y. Масштаб может быть произвольным, но при его выборе рекомендуем руководствоваться следующими указаниями.

     Проводимая кривая должна занимать весь лист используемой миллиметровой бумаги. При этом следует иметь в виду, что пересечение координатных осей совсем необязательно должно совпадать с нулевыми значениями аргумента и функции. Важную роль играет также удобство построения и использования графиком. Надо поэтому выбирать такой масштаб, чтобы координаты любой точки графика могли быть быстро и легко определены. Это условие всегда выполняется, если в единице масштаба (например, в 1 см) заключается 10n , 2·10n или  5·10n единиц измерения физических величин, откладываемых по осям координат (n - любое целое число).

    После того, как масштаб выбран, следует начертить координатные оси, отметив на них деления масштаба. и указать буквенные обозначения и размерность откладываемых величин. Если эти величины очень малы (или очень велики) при нанесении масштаба удобно использовать рационализированную форму записи, указывая порядок величины рядом с ее буквенным обозначением. При этом допускается два вида записи. Пусть, например, индукция магнитного поля катушки с током меняется в пределах (2÷8) 10-5 Тл. На графике зависимости В(I) около делений масштаба надо проставить числа 2, 3, 4 и т.д., а сверху написать либо  В, 10-5 Тл, либо Вx10-5, Тл.

     Полученные экспериментальные данные наносятся в виде графика  Y = Y(Х), где точки имеют координаты Хn , Yn , окруженные эллипсами с главными полуосями ΔXn , ΔYn . Эллипсы отражают погрешности измерения. Часто вместо эллипсов рисуют крестики, точки, кружочки и пр. Затем строится кривая, демонстрирующая вид изучаемой функции. Кривая должна быть плавной и может проходить как через экспериментальные точки, так и в непосредственной близости от них. Желательно, чтобы указанные точки оказались па обе стороны кривой, приблизительно на одинаковых от нее расстояниях.

    Для наиболее точного построения искомой кривой используют так называемый метод наименьших квадратов (см. Дополнение). Следует подчеркнуть, что указанный метод не дает ответа на вопрос, какого вида функция наилучшие образом аппроксимирует данные точки, а позволяет лишь выбрать наиболее подходящую кривую определенного вида (параболу, прямую, экспоненту и т.д.).

    Как правило, отклонение точек от кривой не должно превышать абсолютную погрешность  проведенных измерений. Эти погрешности, как уже говорилось, могут быть указаны на графике в виде эллипсов или отрезков, отложенных от каждой точки (рис. 2). Сильное отклонение отдельных точек от аппроксимирующей кривой связано в основном с ошибками, допущенными при восполнении опытов. Поэтов желательно строите графики в процессе измерений или сразу же после них, чтобы иметь возможность выявить подобные ошибки, называемые промахами, и при необходимости, провести дополнительные измерения.

      Построение графика в ходе эксперимента позволяет также осуществить наиболее рациональное количество измерений. В тех областях, где ход кривой монотонный, можно ограничиться небольшим числом измерений. Вблизи максимумов, минимумов и точек перегибов кривой измерения надо производить значительно чаще.

    Пользуясь полученной кривой, можно оценить значения изучаемой функции для тех значений аргумента, которые непосредственно не наблюдались (интерполяция). Для этого из любой точки на оси абсцисс (в пределах диапазона изменения аргумента) надо провести перпендикуляр до пересечения с кривой. Его длина с учетом масштаба даст значение искомой функции, соответствующее выбранному значению аргумента. Примерный вид графика, построенного по экспериментально полученной зависимости напряжения на конденсаторе колебательного контура от частоты генератора (вынужденные колебания), показан на рисунке 2 .

рис: 2.

Материалы по теме:
Погрешность Лекция