Методы экстраполяции основаны на прямом использовании линейной и экспоненциальной функций, т.е. данных о среднегодовых абсолютных изменениях численности населения за период или о среднегодовых темпах роста или прироста. Если эти показатели известны, то можно рассчитать численность населения на любое число лет вперед, просто предположив их неизменность на протяжении всего прогнозного периода.
Один из простейших способов прогнозирования основан на предположении о том, что среднегодовые абсолютные приросты численности населения, рассчитанные для отчетного периода времени, сохранятся и в будущем.
Иначе говоря, в этом случае для перспективного расчета применяется линейная функция:
Рt = Po + *t, (1)
где Po и Рt - численность населения соответственно в моменты времени 0 и t;
- абсолютный среднегодовой прирост;
t – время в годах.
В реальности для прогнозирования численности населения линейная функция практически не используется, поскольку предположение о неизменности абсолютных среднегодовых приростов может быть относительно верным только для очень кратких периодов времени (не более 5 лет).
Несколько более реалистичным является предположение о неизменности среднегодовых темпов прироста численности населения, особенно при допущении неизменных уровней рождаемости и смертности и отсутствии миграции. В этом случае речь идет об использовании в прогнозировании экспоненциальной функции:
Рt = Р0 * ert , (2)
где r - среднегодовые темпы прироста;
t – время в годах;
е – основание натуральных логарифмов.
r = ln Pt –lnP0 (3)
Как видно, расчет по экспоненциальной функции даёт нам большие результаты. Это отражает большую скорость изменения в случае роста по экспоненте. Тем не менее для кратких периодов (не более 15 лет) применение обеих функций дает сходные результаты. Однако в случае, если имеет место уменьшение численности населения, как сейчас происходит в большинстве регионов России, то более предпочтительным является использование экспоненциальной функции, т.к. это гарантирует, что численность населения не станет отрицательной. Экстраполяционный метод применим только при отсутствии резких колебаний рождаемости, смертности и миграции.
Аналитический метод основан на том, что исходя из прошлой демографической динамики подбирается функция, наиболее близко ее описывающая. В принципе это может быть любая функция. Однако в любом случае эта функция носит эмпирический характер, и не существует никакого общего математического закона демографической динамики.
Математические выражения, которые используются для описания роста населения, являются по необходимости эмпирическими; не может быть найдено никакого закона роста населения, хотя некоторые математические уравнения определялись именно как таковой закон. При построении уравнения или кривой, соответствующих данным переписей населения, в одном случае исходят из предположения, что численность населения является полиномиальной степенной функцией от времени:
Pt=a + bt+ct2 +dt3 +……..n, (4)
где а, b, с, d, - константы, оцениваются с помощью подходящей
техники, например, с помощью метода наименьших квадратов.
Если оцениваются только константы а и b, то получаем просто линейную функцию; добавление других констант означает переход к квадратичной параболе или к параболам более высоких порядков.
Конкретный вид функции подбирается исходя из вида эмпирической кривой, а также гипотезы о связи численности населения с временем как независимой переменной. Один класс такого рода гипотез приведен во вставке. Если же предположить, что изменение численности населения за бесконечно малый промежуток времени является функцией численности населения, то получают другие математические выражения.
Одним из них является экспоненциальная функция с ненулевым постоянным членом, или рост (убыль) населения в геометрической прогрессии.
Другим примером такого рода функций является широко применяемая в перспективном исчислении численности населения логистическая функция (кривая Ферхюлста-Пйрла-Рида), особенность которой состоит в том, что ее приращение уменьшается по мере роста численности населения..
Логистическая функция выражается следующей формулой (5):
Pt =
(5)
где Pt - численность населения в момент времени;
t и b- постоянная интеграция,
1/а – некая предельная численность, к которой асимптотически
приближается численность населения с ростом t и u;
t, u – параметр определяющий конкретный вид кривой;
Логистическая кривая симметрична относительно точки перегиба, которая равна 1/2а. При малых значениях Р темпы его прироста практически постоянны и равны приблизительно u. С другой стороны, если значения Р велики и близки . На, темпы его прироста стремятся к 0.
Идея логистической функции была впервые высказана А. Кетле в 1835 г. и позже (в 1838 г.) аналитически выведена бельгийским математиком Пьером Франсуа Ферхюлстом (Verhulst) (1804-1849). Ферхюлст пытался найти кривую, описывающую ситуацию автонасыщения, которая предполагает существование некоторой предельной для данных конкретных условий численности населения. По мере приближения к этой предельной численности рост населения замедляется вследствие действия неких сил сопротивления, мешающих этому росту. Поиск такого рода функции был необходим А. Кетле для опровержения так называемого закона народонаселения Т.Р. Мальтуса. Этот закон, исходит из того, что не ограничиваемый ничем рост населения происходит в геометрической прогрессии (по экспоненциальной функции). По словам. Кетле, в действительности экспоненциальный рост не имеет места из-за того, что сопротивление или сумма препятствий его увеличению, при прочих равных условиях, действует как квадрат скорости, с какой население имеет тенденцию роста. Развивая эту идею, Ферхюлст и вывел указанную выше функцию.
Затем логистическая кривая была надолго забыта и вновь выведена американскими биологами Р. Пирлом (1879-1940) и Л. Ридомв. Они применили логистическую кривую для прогнозирования численности населения США вид:
Pt = 
(6)
Как и рассмотренные выше линейная и экспоненциальная функции, логистическая функция не может отражать динамику реальных населений в сколько-нибудь длительной перспективе. Она может использоваться, главным образом, для прогнозирования численности небольших территорий на краткие периоды времени. Условием качественности прогноза и в данном случае является контроль с помощью данных о численности населения всей страны. Перспективные расчеты с помощью логистической функции требуют знания численности населения на три равноудаленных момента времени (или на другое кратное трем их число) или задания численности населения на два равноудаленных момента времени и нижней и верхней асимптот. При этом, если нижняя асимптота может быть принята за О, для определения верхней асимптоты не существует никакой разумной процедуры, которая давала бы перспективное значение максимальной численности населения.
Тем не менее логистическая функция может использоваться для прогнозирования небольших территорий, если общая численность населения страны используется как контрольная величина для суммарного населения всех регионов. В этом случае вместо расчета численности населения региона прогнозируются доли населения каждого региона в общей численности населения страны. Поскольку доля может изменяться только в пределах от 0 до 1, эти величины могут использоваться как нижняя и верхняя асимптоты логистической кривой.
Зная прогнозные значения этих долей и прогнозную величину численности населения всей страны, можно определить и будущую численность населения каждого из регионов.
Хотя не существует и не может существовать никакого универсального математического закона, описывающего динамику численности населения, тем не менее в демографии известны многочисленные попытки найти подобный закон. В частности, весьма популярны попытки вывести гиперболический закон роста населения Земли. В качестве примера подобных попыток можно указать на гиперболический закон роста численности населения Земли.
В качестве примера применения методов экстраполяции рассмотрим расчет общей численности населения на основании уравнения экспоненциальной кривой.
Lt = Lo * e p*t (7)
где 
- численность населения в прогнозный период;
Lo - численность населения в период, предшествующий прогнозному;
e p*t - основные натурального логарифма (2,7182);
t- период, на который разрабатывается прогноз;
p - коэффициент естественного прироста населения, выраженный в
долях единиц, рассчитанный по формуле (6) :
Р = 
(8)
где ЧР - число родившихся за период;
ЧУ – число умерших за период;
ЧН – средняя численность населения за период.
Широкое применение методов экстраполяции объясняется тем, что данные процессы в большинстве случаев достаточно инерционны в своем развитии. Методы экстраполяции применяются не только для оценки будущей численности населения, но и для расчета характеристик движения населения (например, коэффициентов рождаемости, смертности, миграции). Общий недостаток построенных с помощью методов экстраполяции прогнозов – это то, что они опираются на средние тенденции динамики населения, зачастую игнорируя особенности отдельных половозрастных групп.
Поможем написать любую работу на аналогичную тему