Преобразование скорости

Если частица движется относительно движущейся системы координат S со скоростью , то ее скорость в системе отсчета S может быть найдена с помощью преобразований Лоренца (12).

Если закон движения частицы в движущейся системе координат имеет вид

то в покоящейся (лабораторной) системе координат этот закон, очевидно, имеет вид

Выполнив подстановку (13), найдем, что

Эта формула определяет релятивистский закон сложения скоростей.

При  = V/c  0 релятивистский закон сложения скоростей (13) с точностью до линейных по  членов переходит в формулу преобразования скоростей в классической механике:

Из (13) следует, что скорость частицы меньшая скорости света в вакууме (v c) в одной системе отсчета, останется меньше скорости света в вакууме (v c) в любой другой системе отсчета, движущейся по отношению к первой с досветовой скоростью V c. Если же  = (c,0,0), то = (c,0,0): скорость света одна и та же во всех системах отсчета.

Более общее преобразование скорости можно получить из формулы (14), если в ней перейти к дифференциалам координат и времени и использовать, что vx = dx/dt,    vy = dy/dt,    vz = dz/dt и аналогичные выражения для vx, vy, vz. После преобразования получившегося соотношения, получим