Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.
Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX—VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Таким образом, был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.
Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI—Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду (приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака), а затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры (использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д.). На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики. В этом процессе все яснее становилась важность роли, которую играло понятие уравнения в системе алгебраических понятий.
Открытие координатного метода (Декарт, XVII в.) и последовавшее за ним развитие аналитической геометрии позволили применить алгебру не только к задачам, связанным с числовой системой, но и к изучению различных геометрических фигур. Эта линия развития алгебры упрочила положение уравнения как ведущего алгебраического понятия, которое связывалось теперь уже с тремя главными областями своего возникновения и функционирования:
a) уравнение как средство решения текстовых задач;
b) уравнение как особого рода формула, служащая в алгебре объектом изучения;
c) уравнение как формула, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.
Каждое кз этих представлений оказалось в том или ином отношении полезным.
Таким образом, уравнение как общематематическое понятие многоаспектно, причем ни один из аспектов нельзя исключить из рассмотрения, особенно если речь идет о проблемах школьного математического образования.
Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно - методическую линию — линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики.
Выделенным областям возникновения и функционирования понятия уравнения в алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики.
а) Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики.
В настоящее время ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.
б) Теоретико-математическая направленность линии уравнений раскрывается в двух аспектах: во-первых, в изучении наиболее важных классов уравнений, и их систем и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом. Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравнений связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений
в) Для линии уравнений характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий,— это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений и их систем. Области иррациональных и логарифмических выражений связаны соответственно с уравнениями хk = b (k - натуральное число, большее 1) и ax=b.
Связь линии уравнений с числовой линией двусторонняя. Приведенный пример показывает влияние уравнений на развертывание числовой системы. Обратное влияние проявляется в том, что каждая вновь введенная числовая область расширяет возможности составления и решения различных уравнений. Например, введение арифметического квадратного корня из рациональных чисел позволяет записывать корни не только уравнений вида х2 = b, где b—неотрицательное рациональное число, но и любых квадратных уравнений с рациональными коэффициентами и неотрицательным дискриминантом.
Линия уравнений тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей — приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т. д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем.
С функциональной линией непосредственно связан также и небольшой круг вопросов школьного курса математики, относящихся к дифференциальным и функциональным уравнениям. Сама возможность возникновения дифференциального уравнения кроется в наличии операции дифференцирования (может быть поставлен вопрос о нахождении для заданной функции ¦ другой функции F, такой, что F' (x)=f (х)).
Однако сама по себе возможность выделения дифференциальных уравнений в школьном курсе математики еще не следует из того факта, что имеются формальные основания для их рассмотрения. Как известно, теория дифференциальных уравнений обладает большой сложностью. В школьном обучении эта теория представлена лишь своими начальными частями, которые не образуют связного целого, а относятся к различным конкретным, по большей части прикладным вопросам.
По-видимому, понятие дифференциального уравнения допускает более широкое представление в школьном курсе. В настоящее время этот вопрос является открытой методической проблемой.
В отличие от дифференциальных функциональные уравнения (неизвестным в которых, так же как и в дифференциальных, является функция) почти не представлены в школьном курсе математики. Единичные задания, связанные с этим классом уравнений, могут быть использованы при рассмотрении показательной функции, в связи с понятием обратной функции и др.
В качестве последнего примера отметим взаимосвязь линии уравнений с алгоритмической линией. Влияние же алгоритмической линии на линию уравнений заключается прежде всего в возможности использования ее понятий для описания алгоритмов решения уравнений и систем различных классов.
Поможем написать любую работу на аналогичную тему