Подставляя значение τ в предыдущее уравнение, получаем

.

Найдем отсюда приращение скорости

При положительном приращении радиуса получается отрицательное приращение (уменьшение) скорости, что соответствует профилю скоростей, показанному на рисунке 3.12.

Выполнив интегрирование, получим

Постоянную интегрирования С найдем из условия, что на стенке при r = r0 υ = 0:

,

тогда скорость по окружности радиусом r

.                                                         (3.20)

Это выражение является законом распределения скоростей по сечению круглой трубы при ламинарном течении. Кривая, изображающая эпюру скоростей, является параболой второй степени.

Максимальная скорость, имеющая место в центре сечения (при r = 0),

.                                                               (3.21)

Входящее в формулу (3.20) отношение pтр/l (см. рисунок 3.12) представляет собой гидравлический (пьезометрический) уклон, умноженный на ρg. Эта величина является постоянной вдоль прямой трубы постоянного диаметра.

Применим полученный закон распределения скоростей, описываемый уравнением (3.20) для расчета расхода. Для этого выразим сначала элементарный расход через бесконечно малую площадку dS:

Здесь  есть функция радиуса, определяемая формулой (3.20), а площадку dS целесообразно взять в виде кольца радиусом r и шириной dr, тогда

После интегрирования по всей площади поперечного сечения, т.е. от r = 0 до r = r0

                                          (3.22)

Среднюю по сечению скорость найдем делением расхода на площадь. С учетом выражения (3.22) получим

                                     (3.23)

Сравнение этого выражения с формулой (3.20) показывает, что средняя скорость при ламинарном течении в 2 раза меньше максимальной:

Для получения закона сопротивления, т.е. выражения потери напора hтр на трение через расход и размеры трубы, определим pтр из формулы (3.22)

Разделив это выражение на ρg, заменив µ на νρ и pтр на hтрρg, а также перейдя от r0 к

d = 2r0, найдем

                                         (3.24)

Полученный закон сопротивления показывает, что при ламинарном течении в трубе круглого сечения потеря напора на трение пропорциональна расходу и вязкости в первой степени и обратно пропорциональна диаметру в четвертой степени. Этот закон, обычно называемый законом Пуазейля, используется для расчета трубопроводов с ламинарным течением.

Заменим в формуле (3.24) расход произведением . После сокращений получим

                                                             (3.25)

Данное выражение известно как закон Стокса. Приведем закон сопротивления Стокса к виду формулы Вейсбаха-Дарси:

.                                                                      

Для этого умножим и разделим формулу (3.25) на , перегруппировав сомножители, после сокращений получим

,

откуда следует, что при ламинарном режиме

.                                                                (3.26)

где λл — коэффициент потерь на трение для ламинарного течения:

Изложенная теория ламинарного течения жидкости в круглой трубе хорошо подтверждается опытом, и выведенный закон сопротивления обычно не нуждается в каких-либо поправках, за исключением следующих случаев:

1) при течении в начальном участке трубы, где происходит постепенное формирование параболического профиля скоростей;

2) при течении с теплообменом;

3) при течении в капиллярах и зазорах с облитерацией;

4) при течении с большими перепадами давления.

Участок от начала трубы, на котором формируется (стабилизируется) параболический профиль скоростей, называется начальным участком течения (lнач). За пределами этого участка имеем стабилизированное ламинарное течение, параболический профиль скоростей остается неизменным, как бы ни была длинна труба, при условии сохранения ее прямолинейности и постоянства сечения. Изложенная выше теория ламинарного течения справедлива именно для этого стабилизированного ламинарного течения и неприменима в пределах начального участка.

Для определения длины начального участка можно пользоваться приближенной формулой Шиллера, выражающей эту длину, отнесенную к диаметру трубы, как функцию числа Re:

.                                                       (3.27)

Сопротивление на начальном участке трубы получается больше, чем на последующих участках. Объясняется это тем, что значений производной dυ/dy у стенки трубы на начальном участке больше, чем на участках стабилизированного течения, а потому больше и касательное напряжение, определяемое законом Ньютона, и притом тем больше, чем ближе рассматриваемое сечение к началу трубы, т.е. чем меньше координата x.

Потеря напора на участке трубы, длина которого l  lнач, определяется по формуле

                                                  (3.28)

Закономерности ламинарного течения с теплообменом и большими перепадами давления подробно рассмотрены в .

Таблица 4.1 - Основные величины, характеризующие истечения

В таблице 4.1 и на рисунке 4.5 приведены основные варианты расчетных схем, полученные в результате анализа наиболее часто встречающихся случаев при решении задач определения расхода. В основном эти варианты отличаются формой детали, перекрывающей круглое проходное сечение диаметром d, и соотношением поперечных размеров отверстия и перекрывающей детали. Для каждого из них даются рекомендуемые значения коэффициента расхода  в области квадратичного сопротивления и формула, позволяющая оценить площадь S(x) соответствующего проходного сечения.