ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОГО ИЗГИБА ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ

Определено, что мерой деформации призматического стержня при прямом чистом изгибе является кривизна нейтрального слоя. Можно показать, что с достаточной для инженерных расчетов точностью этим тезисом можно пользоваться и в случае прямого поперечного изгиба стержня. Однако для практических целей кроме кривизны необходимо определить вертикальные перемещения центров тяжести отдельных поперечных сечений — прогибов балки v, а иногда и углы поворота этих сечений (рис. 2). Вследствие гипотезы плоских сечений угол поворота сечения ( оказывается равным углу наклона касательной к изогнутой оси балки, который в силу малости

Тогда возникает геометрическая задача: составить уравнение для функции прогиба , зная закон изменения ее кривизны.

Рис. 2. Расчетная схема определения перемещений при изгибе

Воспользуемся известным из дифференциальной геометрии выражением для кривизны в прямоугольных декартовых координатах:

Однако, учитывая, что в инженерной практике применяются достаточно жесткие балки, для которых наибольший прогиб f (рис.2) мал по сравнению с длиной (f / l << 1), а первая производная от прогиба имеет порядок

и, следовательно, величиной (dv / dz)2<<1, стоящей в знаменателе (2), можно пренебречь, выражение для кривизны упрощается

Тогда, подставив это выражение в полученную ранее связку кривизны и изгибающего мометна — , условившись что ось Oy направлена вверх и согласовав знаки и Мх, приходим к дифференциальному уравнению прямого изгиба балки

известному также как дифференциальное уравнение упругой кривой.

Если учесть точное выражение для кривизны по формуле (2), то точное уравнение упругой кривой

является нелинейным дифференциальным уравнением. Поэтому линейное дифференциальное уравнение, описывающее малые прогибы балки, иногда называют линеаризованным уравнением упругой кривой.

Решение уравнения получаем путем двукратного почленного интегрирования. При первом интегрировании получаем выражение

которое с учетом , дает также закон изменения углов поворота поперечных сечений по длине балки. Повторным интегрированием получаем функцию прогиба

Постоянные интегрирования С и D должны быть найдены из граничных условий.

Во всех приведенных выше уравнениях функция изгибающего момента Мх(г) предполагалась известной, что возможно лишь для статически определимых балок. Простейшие варианты статически определимых однопролетных балок и соответствующие граничные условия показаны на рис. 3. Условия, накладываемые на прогиб и угол поворота сечения, получили название кинематических граничных условий. Как видно, для шарнирно опертой балки требуется, чтобы прогиб на опорах v(0) =v(l) =0, а для консольной балки прогиб и угол поворота сечения в заделке

Рис.3. Примеры граничных условий: а) двухопорная, б) консольная балки

Дифференциальное уравнение неприменимо для расчета статически неопределимых балок, так как содержит неизвестный изгибающий момент Мx появившийся в результате двукратного интегрирования уравнения четвертого порядка

В этом уравнении нагрузка q известна, поэтому его можно получить, учитывая, что

При интегрировании уравнения необходимо задать четыре граничных условия (по два на каждом конце балки) в том числе так называемые силовые граничные условия — условия, накладываемые на силовые величины (изгибающий момент и поперечную силу), которые выражаются через производные от прогиба. Так как

а с учетом дифференциального соотношения Qy=dMx/dz, получаем

Вернемся к интегрированию уравнения второго порядка. Если имеется несколько участков, для которых правая часть уравнения исходного f(z)=Mx/EJx, содержит разные аналитические выражения, то интегрирование усложняется. На рис. 4 приведена эпюра Мx, содержащая п участков. Для каждого участка независимое интегрирование дает по две константы, а при п участках требуется определить 2n постоянных. Добавляя к двум граничным условиям на опорах 2(n—1) условия непрерывности и гладкости упругой кривой на границе; смежных участков, заключающиеся в равенстве прогибов v и углов поворота сечений dv/dz на этих границах

получим 2п граничных условий, необходимых для нахождения постоянных интегрирования.

Рис.4.Расчетная схема балки, содержащая n углов

Рекомендую для практики решения дифференциальных уравнений второго порядка воспользоваться системой входных тестов Т-4, приведенных в ПРИЛОЖЕНИИ.