Развитие рациональных знаний в эпоху классообразования и цивилизаций Древнего Востока

 От Мифа к Логосу (Науке)

В эпоху классообразования и раннеклассовых обществ духовная культура переживает переход от мифологического мышления к новому историческому типу культуры. Радикально изменяются все три основные составляющие деятельности сознания — нравственная, эстетическая и познавательная. Причем ведущей в эту эпоху являлась нравственная составляющая. Утверждение новых типов отношений людей, способов регуляции их поведения, революционные сдвиги в соционормативной системе — все это имело, по-видимому, фундаментальное значение. Все сферы духовной культуры пронизывали мотивы столкновения первобытной морали рода и новой, нарождающейся общечеловеческой морали, с одной стороны, и классовой морали — с другой. Эстетическое и познавательное по сравнению с нравственным временно отступают на второй план, но при этом также претерпевают значительные качественные изменения.

Мифологическое сознание постепенно и медленно преобразовывалось и преодолевалось рациональными формами. Этот процесс хорошо прослеживается на одной из главных тем первобытной мифологии — теме творения Мира (Космоса) из Хаоса. Мы уже отмечали (см. 1.3), что мифологическим представлением о Мире и Космосе была пронизана вся жизнь первобытного коллектива. Хаос олицетворял силу, неорганизованную, враждебную человеку, темную и пугающую своей связью с миром умерших. При этом в каждой родовой традиции складывались свои конкретные представления и о Хаосе (первичный океан, мировая тьма, бездна, вечная ночь, земная твердь, подземный мир и др.), и о Космосе (мировое дерево, мировое яйцо, мировая гора, небесный свод, брак Неба и Земли и др.). Образ жизни первобытных родовых коллективов подчинялся общей линии мифологического сюжета о связи Хаоса и Космоса. Нормы коллективного поведения, ритмизированная повседневная будничная жизнь (охота, собирательство, потребление пищи, воспроизводство рода и др.) соотносились с образом космической организации, Космоса как целого. Родовой коллектив рассматривался как частица, органическая часть Космоса, а любые перемены в ритмах образа жизни (включая празднества; семейные перемены, т.е. рождение детей, смерть сородичей, особенно вождя; смену сезонной хозяйственной деятельности и др.) оценивались как особые состояния, при которых организованное космическое целое подвергается опасности. Опасность усматривалась в возможности проникновения в организованное космическое целое враждебных человеку, злых, сверхъестественных, несущих в себе разрушающее начало хаотических сил. Спасение от их воздействия виделось в магических ритуалах, и чем более они эмоциональны, выразительны, художественны, тем эффективнее.

Эстетическое выступало для первобытного человека как главное спасительное средство от враждебного хаотического начала. Поэтому обрядовые магические ритуалы исключительно художественны. Карнавальные шествия, танцы, маски добрых и злых духов, ритуальные инсценировки восстаний против правителя, даже ритуальные оргии должны были продемонстрировать господство человеческих организованных сил над силами Хаоса, поставить хаотическое под контроль человека, подчинить его человеку. В этих художественно оформленных магических ритуалах вновь и вновь из Хаоса воссоздавался антропоморфно организованный Космос. Таким образом, магическое сознание стимулировало становление художественных, эстетических образов, различных видов искусства вплоть до требовавших огромных трудовых усилий мегалитических сооружений, скульптурных изваяний, родовых святилищ, погребальных сооружений и др.

Мифологические образы периодического вмешательства хаотических сил в космическую организацию со временем трансформировались в систему представлений о мировых циклах. Такая система (в различных вариантах) впоследствии вошла почти во все ранние философские учения. Появилось понятие мировой катастрофы, которая опосредует собой переход от одного космического цикла к другому. Гибель мира, катастрофа — это победа сил Хаоса над космически организованным целым, над человеком, обществом. Человеку не удалось сдержать напор хаотического, враждебного мировой гармонии начала, и Космос под его воздействием рушится. Но катастрофы не вечны. Космос затем восстанавливается из Хаоса, и начинается новый период космического развития, новый его цикл. Представление о мировой космической катастрофе органично интегрировалось и с новыми структурами сознания — абстрактными категориями будущего, пространства, времени и Космоса. Еще в раннеклассовом обществе сформировались важные общие понятия (категории): «даль», «бесконечность», «ничто», «бытие», «сущее», «несущее» и др . Возникновение таких широких абстракций (понятий, категорий) явилось одной из важнейших предпосылок становления естествознания.

Предпосылки генезиса естествознания формировались прежде всего в процессе разрешения ряда противоречий в системе сознания:

между мифологическим видением мира и накапливающимся рациональным знанием, абстрактным мышлением;

в самой системе мифологии — между различными противоречащими друг другу мифами как следствие рационального упорядочения и систематизации мифологии;

между рациональными знаниями и практическими потребностями в расширении массива таких знаний.

Разрешение этих противоречий осуществлялось посредством систематизации и логического упорядочения мифов (разрешения или снятия противоречий, которые возникали между отдельными мифами, между мифологией и усложнившейся социальной действительностью), накопления, обобщения и систематизации рациональных знаний (их увязывания со всеми остальными компонентами духовной культуры), развития абстрактного мышления, категориального аппарата сознания, критической функции разума, приемов обоснования знания, сферы самосознания.

В русле этих преобразований складывались и соответствующие когнитивные (т.е. лежащие в сфере знания) предпосылки становления естествознания. Первые три из них (систематизация мифов, накопление и обобщение рациональных знаний, развитие категориального аппарата сознания) сложились уже в цивилизациях Древнего Востока — Древнем Египте и Древнем Вавилоне. Четвертая предпосылка (идея рационального обоснования знания как важнейшее условие возникновения теоретического самосознания) формируется в древнегреческой цивилизации.

 Географические знания

Рост населения, его подвижности, динамизма образа жизни, укрепление племенных союзов, развитие военного дела, политический и военный экспансионизм, развитие обмена, торговли — способствовали расширению географического кругозора человека.

Наряду с освоением новых пространств, развитием представлений о границах ойкумены (населенной части планеты) совершенствовались формы картографии, создавались карты — схемы местности, способы ориентации по звездам, особенно у народов-мореплавателей (например, у народов Океании). Интересная характеристика географических познаний эпохи разложения первобытного общества и зарождения раннеклассовых отношений дана Л.Г. Морганом в исследовании жизни ирокезов:

Столетия за столетиями и племя за племенем протаптывал... человек... древние исхоженные тропы. От Атлантического океана до Миссисипи и от Северных озер до Мексиканского залива главные индейские пути через страну были так же тщательно и разумно проложены и так же хорошо известны, как наши собственные. По многим из этих длиннейших троп ирокезы совершали военные экспедиции и таким образом практически изучали географию страны. В пределах своих непосредственных территорий они так же были знакомы с географическими особенностями, маршрутами путешествий, озерами, холмами и реками, как впоследствии мы сами .

На смену простейшим способам схематического изображения местности с помощью камней, палок, рисунков на песке и др., которые были характерны для первобытного общества, приходят более долговременные и совершенные «карты». Их либо рисовали, либо вышивали на коже или ткани, либо чертили ножом на коре дерева и т.п. Эти карты обычно отражали не местность в целом, а отдельный маршрут. На такой карте-схеме изображались гидрографическая сеть (главная река, ее притоки, озера и др.), речные пороги, броды, дороги, тропы, жилища, горы, следы проживания людей в данном районе и др. Длина маршрута определялась в днях пути. Есть этнографические данные о том, что у некоторых народов была традиция собирать такие карты местности в особых хранилищах.

Новый дополнительный импульс развитию картографии придало расширение торговой деятельности, появление класса купцов, осваивавших дальние и неизведанные торговые пути. Наиболее распространенные и трудные маршруты снабжались определенными указательными знаками (на деревьях, на камнях, на скалах и др.), включая знаки, предупреждающие о возможности нападения (так зарождалось то, что на современном языке называется «служба эксплуатации дорог»). Указательные знаки также отмечались на картах-схемах маршрутов.

 Биологические, медицинские и химические знания

Становление производящего хозяйства (земледелия и скотоводства) стимулировало развитие биологических знаний. Прежде всего накапливался и обогащался опыт одомашнивания животных и растений, использования искусственного отбора (селекции). Люди были еще далеки от понимания сущности искусственного отбора, но уже умели использовать его для своей хозяйственной деятельности. Опыт селекции передавался из поколения в поколение. Благодаря селекции было выведено много новых пород животных и растений, заложена база современной аграрной культуры. Развитие скотоводства позволило освоить новые массивы зоологических, ветеринарных знаний и навыков, а развитие земледелия способствовало накоплению ботанических, агрохимических и гидротехнических (в связи с мелиорацией и ирригацией) знаний.

Еще в Древней Месопотамии было открыто искусственное опыление финиковой пальмы, которое привело к получению большого сортового разнообразия этого дерева. Это значит, что существование пола у растений было известно еще древним ассирийцам в XVIII в. до н.э. Хотя «смысла процесса и роли мужских и женских цветков в оплодотворении они, конечно, не понимали» . (В Европе наличие пола у растений было доказано лишь в конце XVII в.) Еще в начале II тыс. до н.э. в Месопотамии создавались агрономические календари. Так, в «Земледельческом альманахе» содержались рекомендации по борьбе с засолением почв, по закреплению песков с помощью посадки деревьев, созданию заповедников и др. В Древнем Египте создавали пособия по ветеринарии. В XIV в. до н.э. в Хеттском государстве некто Киккули из Митаннии написал трактат о коневодстве: это самая древняя из дошедших до нас рукописей, целиком посвященных биологической теме. В VIII в. до н.э. в Ассирии появляются первые системы классификации растений (около 250 видов).

В эпоху классообразования от системы биологических знаний постепенно отпочковывается медицина как относительно самостоятельная отрасль знаний и практических навыков. Глубинной основой этого процесса является изменение отношения к человеку. Сначала человек начинает осознавать свое кардинальное отличие от природных предметов и процессов. Впоследствии, по мере отчуждения от родовых связей, человек осознает себя как самоценное существо, которое хотя и связано с коллективом (соседско-территориальной общиной, патриархальной семьей и др.), его традициями и ценностями, но уже имеет и свои индивидуальные ценности. Формируется индивидуальное самосознание и сопровождающие его смысложизненные ориентиры. Человек впервые сталкивается с проблемой смысла своего существования, поэтому поддержание жизни человека, его работоспособности приобретает особую ценность, значимость.

В этих условиях приоритетной сферой рациональной деятельности становится медицинская практика. В обществе растет престиж тех, кто берется лечить людей и кому это удается. Например, древнегреческий поэт Гомер в «Илиаде» следующим образом выражает глубочайшее уважение к врачевателям (Илиада, XX, 514-515):

Стоит многих людей один врачеватель искусный:

Вырежет он и стрелу, и рану присыплет лекарством.

Лекарь, врачеватель — это прежде всего знаток лечебных трав и народной медицины. Развивается древнейшая традиция лечебного применения средств растительного происхождения (травы, цветы, плоды, кора деревьев и др.) и средств минерального и животного происхождения (жир, части организмов животных и др.). Появляются приемы санитарии и гигиены, физиотерапевтические процедуры, массаж, иглотерапия, диетика, разрабатываются новые хирургические приемы и соответственно металлические хирургические инструменты (скальпель, щипцы и др.). Совершенствуется акушерство — одна из первых медицинских специальностей. О разнообразии медицинских знаний в древности свидетельствует «папирус Эберса» (Др. Египет, 1500 лет до н.э.). Он представляет собой по сути медицинскую энциклопедию, которая содержит описание 877 болезней и их симптомов. А древнеиндийские медики открыли вакцинацию как способ борьбы с оспой. Еще в VIII в. до н.э. индийские хирурги владели техникой кесарева сечения, ампутации, извлечения почечных и желчных камней, заложили основания пластической хирургии . Во взаимодействии с древнеиндийской медициной возникла древнетибетская медицина, широко распространившаяся в странах буддийской культуры, накапливался уникальный опыт использования биологически активных веществ. Этот опыт изучается современной фармакологией.

Конечно, в первобытной медицине наряду с рациональными знаниями еще много наивного. Так, древние вавилоняне считали, что жизнь связана с кровью, печень — главный орган жизни, содержащий запас крови; органом мышления они считали сердце. Поэтому наряду с народной медициной, лекарями — знатоками лекарственных трав, простейшей хирургии складывается и другой тип врачевателей — знахари-заклинатели, опиравшиеся на мифологические и магические процедуры. Эта ветвь древней медицины со временем трансформируется в храмовую медицину .

Первоначальное накопление химических знаний осуществлялось в области ремесленной прикладной химии. Основные виды такой деятельности: высокотемпературные процессы (металлургия, стеклоделие, керамика); получение красителей (минеральных и органических), косметических средств, лекарств, ядов, освоение бальзамирования; использование брожения для переработки органических веществ. Широкое распространение получила обработка и подделка драгоценных камней. Кроме меди и железа древние знали такие металлы, как золото, свинец, олово, ртуть и их сплавы. Из свинца, например, отливали культовые фигуры, украшения, статуэтки.

 Астрономические знания

Развитие астрономических знаний в рассматриваемую эпоху определялось в первую очередь потребностями совершенствования счета времени.

Совершенствование календаря. Если присваивающее хозяйство вполне могло обходиться лунным календарем, то производящее хозяйство требовало более точных знаний времени сельскохозяйственных работ (особенно времени посева и сбора урожая), которые могли базироваться лишь на солнечном календаре, на солнечных циклах (годовом, суточном, сезонном). Известно, что 12 лунных месяцев составляют лунный год, равный 354,36 солнечных суток (отличие от солнечного года примерно 11 суток).

Переход от лунного календаря к солнечному стал возможным при отделении наблюдений за интервалами времени от их привязки к биологическим ритмам (связанным с человеком и домашними животными) и выделении некоторых внебиологических природных «систем отсчета» для измерения интервалов времени. В таком качестве выступали, например, точки восхода Солнца в день летнего солнцестояния и захода в день зимнего солнцестояния, наблюдения за звездной группой Плеяд в созвездии Тельца, позволявшие корректировать солнечное и лунное времяисчисления. Чтобы результатами подобного рода наблюдений можно было пользоваться неоднократно, их следовало фиксировать, что вызвало потребность в соответствующих сооружениях. Археологами обнаружены разного рода мегалитические конструкции — постройки из громадных каменных плит и камней. Даже в наше, космическое время, когда мы мало чему удивляемся, мегалитические сооружения древности поражают своей грандиозностью и загадочностью.

Известны различные виды мегалитических сооружений — дольмены (несколько вертикально установленных огромных каменных плит, перекрытых сверху горизонтально уложенными плитами), кромлехи (выстроенные в круг гигантские монолиты, иногда вместе с дольменами) и др. Большинство из них одновременно выполняло несколько функций — религиозно-культовую, произведения монументальной архитектуры, протонаучной астрономической обсерватории и др. Одним из наиболее известных является грандиозный мегалитический комплекс Стоунхендж в Англии, созданный на рубеже неолита и бронзового века .

Мегалитические сооружения строились так, что они позволяли с довольно высокой точностью ориентироваться на точку восхода Солнца, фиксировать дни летнего и зимнего солнцестояния и даже предсказывать лунные затмения. Сооружения из огромных каменных плит и монолитов требовали колоссальных трудовых затрат, были результатом коллективного длительного труда многих десятков и сотен, а иногда и тысяч людей. Это говорит о том, какое важное значение придавалось астрономическим знаниям в период становления цивилизации.

Астрономия Древнего Египта. В Древнем Египте связь небесных явлений и сезонов года была осознана, очевидно, еще в период Древнего Царства (2664—2155 гг. до н.э.). Предвестником Нового года у древних египтян был Сириус. Первая видимость Сириуса на утреннем небе (гелиактический восход Сириуса) наступал за несколько недель до разлива Нила (около 20 июля), выхода его из берегов, наводнения, т.е. самого важного события в египетском сельскохозяйственном году. Эти земледельческие правила были первым шагом на пути становления научной астрономии.

В эпоху Среднего Царства (2052—1786 гг. до н.э.) были разработаны диагональные календари (деканы) — звездные часы, служившие для определения времени по звездам. Такие календари обнаружены в пирамидах: уходивший в иной мир для своего путешествия должен был иметь все необходимое, в том числе и звездные часы.

Со временем деканы перекочевали в астрологическую литературу, где они выступали в новой форме и новой роли — богов, определявших судьбу людей.

Египтяне оказали значительное влияние на становление древнегреческой астрономии, о чем есть много свидетельств античных авторов.

Астрономия Древнего Вавилона. Еще большее развитие, чем в Древнем Египте, астрономия получила в Вавилонии и Ассирии. Так, в Месопотамии в начале III тыс. до н.э. был принят лунный календарь, а через тысячу лет — лунно-солнечный календарь. К лунному году (12 месяцев, 354 дня) время от времени добавлялся дополнительный «високосный» месяц, чтобы сравнять его с солнечным годом (365,24 суток). Вавилонянам (халдеям) уже было известно, что 8 солнечных лет приблизительно равны 90 лунным месяцам или 19 солнечных лет (6940 суток) равны 235 лунным месяцам . Погрешность лунного месяца составляла 2 мин, а средняя продолжительность года лишь на 30 мин отличалась от действительной длительности тропического года в середине V в. до н.э.

1 В истории астрономии эта закономерность известна как метонов цикл (по имени древнегреческого астронома Метона, который заимствовал ее у халдеев в 433 г. до н.э.).

В Древнем Вавилоне (примерно с 540 до 470 г. до н.э.) были созданы первые, еще очень простые теории движения Луны и планет. Эти теории не требовали тригонометрических расчетов и носили линейный характер. Применявшиеся в них математические средства – линейные уравнения с одним неизвестным и суммирование арифметических прогрессий. Теория движения Луны позволяла предсказывать не только суточное движение Луны, дату и время новолуния или полнолуния и др., но и время, и величину лунных затмений, определять положение планет на небе и даты прохождения главных точек планетных орбит (первая видимость утром, утреннее стояние, вечернее стояние, последняя видимость вечером и др.). Автором этих теорий был, по-видимому, живший в эпоху Дария астроном Набу-Риманну .

Вавилонские астрономы могли предсказывать не только лунные, но и некоторые типы солнечных затмений.

На Древнем Востоке развитие астрономических знаний теснейшим образом переплеталось с целями и задачами астрологии.

Астрономия и астрология. В древности астрономические знания во многом накапливались в системе астрологии. Астрология — уходящая своими корнями в магию деятельность, состоящая в предсказании будущего (судеб людей, событий разного рода) по поведению, расположению небесных тел (звезд, планет и др.). Древнейший из дошедших до нас гороскопов (из Вавилона) датируется второй половиной V в. до н.э.

Астрология строилась, с одной стороны, на религиозном убеждении, что небесные тела являются всесильными божествами и оказывают решающее влияние на судьбы людей и народов, а с другой стороны, на представлении о всеобщей причинной связи вещей и их повторяемости – всякий раз, когда на небе будет наблюдаться одно и то же событие, на Земле последуют одни и те же следствия. Из взаимного расположения планет между собой, а также из их отношения к знакам зодиака астрология пытается угадать будущие события и все течение жизни человека.

Астрология имеет древнюю историю. И в течение многих веков развитие астрономии часто являлось побочным результатом астрологической деятельности. В древности, Средневековье, эпоху Возрождения власть имущие, вкладывая большие средства в строительство обсерваторий и совершенствование астрономических инструментов, преследовали вовсе не бескорыстные цели познания объективных законов Космоса, ожидали не почетных лавров покровителей науки, а совсем иного – усовершенствованных гороскопов, более точных астрологических предсказаний своей личной судьбы.

Начальные этапы отчуждения астрологии и астрономии, вероятно, связаны с древнегреческой культурой. В IV в. до н.э. Евдокс Книдский уже не верил в предсказания астрологов. И побудительным мотивом греков в развитии математической астрономии были не астрологические прогнозы, а познание «вечно неизменного мира» астрономических явлений.

Отчуждение астрономии и астрологии происходило не просто. Так, величайший астроном древности К. Птолемей, создатель геоцентрической модели мироздания, занимался и астрологией, обосновывал ее мировоззренчески; до нас дошел его астрологический трактат «Тетрабиблос» . В эпоху Возрождения не только отдельные монархи, но целые городские общины содержали в штате чиновников астрологов. Вплоть до XVII в. в европейские университеты на работу принимаются профессора для чтения курса астрологии, который преподавался наряду с курсом астрономии. Мода на астрологию дошла и до нашего времени: астрологические гороскопы являются неотъемлемым атрибутом многих периодических изданий.

В разное время, в разных культурах в толковании основных задач астрологии могли изменяться акценты. (Так, в старовавилонской астрологии в центре внимания была не судьба отдельного человека, а благополучие страны – погода, урожай, война, мир, судьбы царей и др.) Но суть всегда оставалась одной – связать прямой необходимой причинной связью повседневные земные события (быстротекущей жизни людей и народов) с небесными явлениями. На первый взгляд вполне научная задача. Но на самом деле это не так. Ведь наш мир устроен таким образом, что в нем нет прямой непосредственной необходимой причинной связи всего со всем. И потому хотя Космос, безусловно, оказывает определенное воздействие на земные явления (в том числе, например, геомагнитные бури сказываются на состоянии здоровья человека), причины, порождающие и определяющие человеческие судьбы и социальные явления, лежат не за пределами Земли, а в земных процессах — природных (прежде всего, биологических) и социальных.

 Математические знания

В рассматриваемую эпоху математические знания развивались в следующих основных направлениях.

Во-первых, расширяются пределы считаемых предметов, появляются словесные обозначения для чисел свыше 100 единиц — сначала до 1000, а затем до 10 000 и далее.

Во-вторых, образуются позиционные системы счисления. Это стало возможным благодаря совершенствованию умения считать не единицами, а сразу некоторым набором единиц (4,5, чаще всего 10).

В-третьих, формируются простейшие геометрические абстракции — прямой линии, угла, объема и др.

В-четвертых, зарождаются древнейшие математические науки — арифметика и геометрия.

Развитие земледелия, отношений земельной собственности требуют умения измерять расстояния, площади земельных участков (отсюда и происхождение слова «геометрия» — от древнегреческого «землемерие»). Развитие строительного дела, гончарного производства, распределение урожая зерновых и т.п. требовали умения определять объемы тел. В строительстве было необходимо уметь проводить прямые горизонтальные и вертикальные линии, строить прямые углы и т.д. Натянутая веревка служила прообразом представления о геометрической прямой линии. Одним из важнейших свидетельств освоения человеком геометрических абстракций является зафиксированный археологами бурный всплеск использования геометрических орнаментов на сосудах, ткани, одежде. Геометрическая отвлеченность начинает превалировать в художественной изобразительной деятельности, в передаче изображений животных, растений, человека.

На Древнем Востоке математика получила особое развитие в Месопотамии. Математика выступала как средство решения повседневных практических задач, возникавших в царских храмовых хозяйствах (землемерие, вычисление объемов строительных и земляных работ, распределение продуктов между большим числом людей и др.). Найдено более сотни клинописных математических текстов, которые относятся к эпохе Древневавилонского царства (1894—1595 гг. до н.э.). Их расшифровка показала, что в то время уже были освоены операции умножения, определения обратных величин, квадратов и кубов чисел, расчеты процентов по долгам, существовали таблицы с типичными задачами на вычисление, которые заучивали наизусть .

Математики Древнего Вавилона уже оперировали позиционной системой счисления (в которой цифра имеет разное значение в зависимости от занимаемого ею места в составе числа). Система счисления была шестидесятиричной. Жителям Древнего Вавилона были известны приближенные значения отношения диагонали квадрата к его стороне (v2 они считали равным приблизительно 1,24; число ? — приблизительно равным 3,125). В древневавилонской математике появляются начатки измерения углов, формулирования тригонометрических отношений.

Вавилонская математика поднялась до алгебраического уровня, оперируя не числом конкретных предметов (людей, скота, камней и проч.), а числом вообще, числом как абстракцией. При этом числа рассматривались как некий символ (наряду с множеством других символов) иной, высшей реальности. Но у древних вавилонян, по-видимому, еще не было свойственного древнегреческой математике представления о числах как некоторой абстрактной реальности, находящейся в особой связи с материальным миром. Поэтому у них не вызывали мировоззренческих проблем вопросы о природе несоизмеримых отношений, различии точных и приближенных вычислений.

Представим на современном математическом языке те типовые задачи, которые могли решать вавилоняне.

Алгебра и арифметика:

уравнения с одним неизвестным

АХ = В; X 2 = А; X 2 + АХ = В; X 2 – АХ = В; Х 3 = А; Х 2 (Х + 1) = А;

системы уравнений с двумя неизвестными

XY = B, X + Y = A; X 2 +Y 2 =В, Х – Y = А;

Y = B, X – Y = A; X 2 +Y 2 =B, X + Y = A.

Им были известны следующие формулы:

(А + В) 2 = А 2 +2АВ + В 2 ; (А + В)(А – В) = А 2 – В 2 ;

1 + 2 + 4 + ... + 2 n = 2 n +(2 n – 1);

1 2 + 2 2 + 3 2 +... + N 2 = (? + ?N) (1 + 2 + 3 + ... + N)

и суммирование арифметических прогрессий.

Геометрия:

пропорциональность для параллельных прямых;

теорема Пифагора;

площадь треугольника и трапеции;

площадь круга S ? 3R 2 ;

длина окружности L ? 6R;

объемы призмы и цилиндра;

объем усеченного конуса они считали по неправильной формуле: 1/2 (3 R 2 + 3 r 2 ) (на самом деле он равен 1/3 ( R 2 – r 2 );

объем усеченной пирамиды высотой H , квадратным верхним В и нижним А основаниями они также определяли по неправильной формуле: 1/2 (А 2 + В 2 )Н. На самом деле он равен 1/3 (А 2 + АВ+ В 2 ) Н. Зато эта правильная формула была известна древним египтянам. Хотя в целом древнеегипетская математика была развита менее древнемесопотамской.

Основная общая особенность и общий исторический недостаток древневосточной математики – ее преимущественно рецептурный, алгоритмический, вычислительный характер. Математики Древнего Востока даже не пытались доказывать истинность тех вычислительных формул, которые они использовали для решения конкретных практических задач. Все такие формулы строились в виде предписаний: делай так-то и так-то. Потому и обучение математике состояло в механическом заучивании веками не изменявшихся способов решения типовых задач. Идеи математического доказательства в древневосточной математике еще не было.

Вместе с тем у древних вавилонян уже складывались отдельные предпосылки становления математического доказательства. Они состояли в процедуре сведения сложных математических задач к простым (типовым) задачам, а также в таком подборе задач, который позволял осуществлять проверку правильности решения.