Геометрический смысл преобразований Лоренца

Выясним теперь геометрический смысл преобразований Лоренца. Еще раз запишем его только для x и t в виде

Это линейное однородное преобразование, очень похожее на преобразование поворота на угол  в плоскости XY:

Новые оси x, y, получающиеся в результате поворота изображены на Рис. 8 б).

Важнейшим свойством преобразования поворота является сохранение расстояния между любыми двумя точками: r12 = r12.

Здесь:

Введем величину, зависящую от параметров двух событий { ,t1 } и { ,t2 } и определенную равенством

Она называется пространственно - временным интервалом.

Прямой подстановкой формул (12) можно проверить, что величина пространственно - временного интервала между двумя событиями является инвариантом преобразований Лоренца:

В двумерном случае можно рассматривать как "расстояние" между точками плоскости ct, x. Но квадрат разности координат входит в s12 со знаком "минус". Пространство, в котором расстояние между точками определено формулой (15) называется псевдоевклидовым. Наряду с отмеченным сходством, между евклидовым и псевдоевклидовым пространствами имеются принципиальные различия. В евклидовом пространстве расстояние между любыми точками r212  0, равенство нулю означает, что точки совпадают. В псевдоевклидовом пространстве s212 может иметь любой знак, а его обращение в нуль возможно для двух совершенно различных точек пространства - времени.

Найдем положение новых осей (x, ct) на псевдоевклидовой плоскости. Отложим координата x, ct на прямоугольных осях. (Рис. 9). Точка x = 0, сопадающая с началом координат системы S, движется в системе S со скоростью V. Ее мировая линия будет представлять собой ось времени ct системы S. Эта ось будет наклонена к оси ct на угол  = arctg (V/c). Ось x новой системы можно определить условием ct = 0. Но тогда в старой системе координат это будет прямая ct = x, проходящая через начало координат и составляющая с осью x тот же угол  = arctg (V/c).

Приходим к выводу, что новая система координат косоугольна! Если попытаться найти связь между отрезками x, ct и  x, ct, посто проектируя отрезки (так как это делается в эвклидовом случае), то получится неправильный результат. Преобразования Лоренца не только поворачивают оси, но и искажают масштабы координат по осям!

Итак, основной результат состоит в том, что преобразования Лоренца можно интерпретировать, как псевдоевклидово вращение системы координат в пространстве Минковского.

Рис. 9

С помощью Рис. 9 можно дать геометрическую интерпретацию различным следствиям из преобразований Лоренца. Вспомним, например, относительность одновременности. В системе S линии равного времени - прямые параллельные оси 0x. В системе S - это прямые, параллельные 0x, не совпадающие с линиями равного времени в системе S. Поэтому события, одновременные в S, не будут в общем случае одновременными в S. Например, между одновременными в системе S событиями A и B в системе S пройдет промежуток времени  t = AB/c, причем событие B произойдет раньше.

Как ясно из вышеизложенного, на псевдоевклидовой плоскости квадрат интервала s212 может быть как положительным, так и равным нулю и отрицательным.

Если s212 0, его называют времениподобным, при s212 0 - пространственноподобным, при s212 = 0 - светоподобным или нулевым.

Характер интервала тесно связан c причинностью - он определяет возможность причинной связи событий, происходящих в пространственно - временных точках 1 и 2. Если s212 0, то из точки 1 можно послать сигнал со скоростью , который вызовет событие 2. В случае s212 = 0 это также возможно, но сигнал должен посылаться с предельной скоростью c. События, разделенные пространственноподобным интервалом, не могут быть причинно обусловлены, т.к. сигналы не могут распространяться со скоростью .