Считается общепринятым утверждение о высоком уровне абстрактности понятий математики, о дедуктивном способе получения ее результатов. Эти особенности математики привлекали внимание философов и математиков на протяжении всей истории науки. При этом на первый план выходит проблема связи математики и действительности. Серьезными философскими проблемами являются и те, что касаются специфики математических объектов, создания и построения математических теорий.
Именно с вопроса о возникновении математических объектов начнем рассмотрение вопроса об их специфике.
Математика в Древней Греции. Обычно, когда говорят о первичных объектах математики, имеют в виду числа и геометрические фигуры. В самом деле, уже в Древнем Египте и в Вавилоне имелись сведения математического характера, некоторые способы вычислений. Но вся эта математика - "рецептурная", поскольку представляла собой набор рецептов. Действуя в соответствии с ними, человек получал нужный результат. Так, египтянам было известно, что в прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 гипотенуза будет равна 5. Но доказательства этого они не знали, не знали об общем свойстве прямоугольных треугольников, доказанном Пифагором. Фалес дал первые доказательства, касающиеся правильных треугольников, тем самым превратил сведения математического характера в систему, в которой переход от одного предложения к другому осуществляется с помощью доказательства. Этот подход ознаменовал рождение математики как науки. Возникновение математики как науки привело и к появлению вопросов, касающихся сущности математических объектов, их отношения к реальности, т. е. вопросов философских. Начала формироваться проблематика философии науки.
Платон отвечал на вопрос о природе математических объектов, исходя из своего представления о строении бытия (онтологии) и о познании бытия при помощи воспоминания. По его мнению, мир математических сущностей, математических объектов находится между миром идей и миром вещей, и познается при помощи правильно поставленных вопросов, которые позволяют разуму вспомнить математические знания, постигнутые душой во время ее пребывания в мире идей.
Размышляя о сущности математических объектов, Аристотель определил их как абстракции от реальных вещей. По его утверждению, математика при рассмотрении материальных вещей устраняет все чувственно воспринимаемые свойства - тяжесть, твердость, тепло, холод - и сохраняет только количественную определенность и непрерывность. Несмотря на то, что данный подход чрезвычайно упрощает проблему формирования математических понятий, он имел большое значение для науки вообще, ибо обратил внимание на такие важнейшие процедуры научного исследования, как абстракция, идеализация, операция отождествления.
Таким образом, обращаясь к истории математики, мы уже можем выявить одну из важнейших закономерностей развития науки - взаимосвязь философских вопросов науки с ее прогрессом.
Натуральное число как математический объект формируется после того, как произошло обобщение того употребления натуральных чисел, которое характерно для эмпирического уровня познания. Понятие натурального числа возникло в результате обобщения, размышления над рядом познавательных операций: операции отождествления, операцией формирования порядковых чисел. Таким образом, понятие натурального числа - это метаэмпирическое понятие. Метаэмпирические понятия связаны с объектами материального мира, но не непосредственно, а через анализ и индуктивное обобщение познавательных процедур и их результатов. Этот путь формирования математических понятий определяет их объективность, дает возможность использовать их в науке и повседневной жизни как результат счета, отображение порядка, результат измерения. Что касается элементарных понятий геометрии, то приступающим к изучению геометрии школьникам сообщают, что само слово "геометрия" означает "землемерие". А значит, евклидова геометрия сформировалась как отражение пространственных форм окружающего мира. Это упрощенный взгляд на проблему происхождения геометрических понятий.
История материальной культуры говорит о том, что самые древние из известных кипичей были продолговатой формы и вылеплены руками. Изготовление в Шумере кирпичей в виде куба привело к формированию нового типа архитектуры Древнего Востока. Отметим, что это - та форма, которая дает самое плотное заполнение пространства, т. е. создает устойчивость конструкции. Опытным путем этот факт был установлен, и строительные единицы приобрели нужную форму. Ж. Лауэр, исследуя египетские пирамиды, историю их возведения, показал, что исключительно из соображений удобства, простоты выбирался угол наклона пирамид.
Размышления над теми процедурами, которые необходимы для создания устойчивых конструкций, над рекомендациями типа: если хочешь получить нечто, выполняй то-то, раздумья над наиболее целесообразными технологиями получения изделий из металлов или выяснение связей между расположением строительных единиц и прочностью строений приводят к формированию первичных знаний о связи некоторых свойств с наиболее целесообразными действиями. Эти знания достаточно долго не оформлялись в виде математики. По свидетельству известного историка математики О. Нейгебауэра, в вавилонской математике существовали примеры, "в которых площади и длины складываются или площади умножаются, что исключает какую-либо геометрическую интерпретацию в духе Евклида, которая нам кажется столь естественной". (Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М., 1968, с. 56). Другими словами, не было ни малейшего представления, что прямая и плоскость - это разные геометрические объекты.
Таким образом, не созерцание природы и отбрасывание некоторых "негеометрических" свойств материальных объектов являются основным источников создания первичных геометрических понятий. Практическая деятельность человека, который преобразует материальные объекты и создает новые, приводит к предпосылкам для возникновения первичных геометрических понятий.
Историки математики связывают возникновение "научной геометрии" с трудами Евклида. В отличие от вавилонской и египетской математики, греческие ученые рассматривали именно геометрические формы, независимые от материальных объектов. Это уже подход, характерный для так называемой чистой математики: Объекты задаются аксиомами.
Итак, по своей гносеологической сущности первичные объекты математики являются метаэмпирическими понятиями. Одновременно с ними сформировались некоторые математические утверждения, которые позже Евклид называл постулатами. Это те, что (кроме пятого постулата, о котором речь пойдет в дальнейшем) послужили основанием геометрии Евклида:
1. Через две точки проходит единственная прямая.
2. Ограниченную прямую линию можно непрерывно продолжать.
3. Из любой точки как из центра можно описать окружность любого радиуса.
4. Все прямые углы равны между собой.
Подобные математические высказывания сформировались как обобщения
- данных, полученных в процессе познания окружающего мира,
- результатов анализа ряда познавательных операций, изучения процедур, связанных с познавательной деятельностью человека;
- результатов исследования задач, решавшихся в Египте и Вавилоне.
Данные утверждения фиксируют некоторые закономерности, поэтому их следует считать метаэмпирическими законами.
Важное место в истории и философии математики занимает история пятого постулата евклидовой геометрии, которая привела к созданию неевклидовых геометрий, прежде всего, геометрии Н. И. Лобачевского (XIX в). Среди проблем, которые в математике переходили из столетия в столетие, центральное место занимала проблема постулата о параллельных в евклидовой геометрии.
И вот в этом мировоззренческом поле начались работы Н. И. Лобачевского, которые изменили в конечном итоге само мировоззрение как математиков, так и представителей других наук.
При помощи неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевский получил уже известные интегралы, что означало выполнение новой теорией функции объяснения известных математических фактов. Вычислив ранее неизвестные интегралы, Лобачевский показал, что выполняется и функция предсказания - обнаруживаются новые математические факты. Истинная научная теория должна выполнять обе эти функции.
Эпоха возрождения. За тысячу лет, которую мы называем эпохой средневековья, в математике не произошло существенных переворотов, хотя математические и логические истины были постоянным объектом различных схоластических спекуляций. Философия математики также стояла на мертвой точке: она не вышла за рамки пифагореизма в его платонической интерпретации. Только в XIV-XV вв. В Европе началось возрождение творческого математического мышления в арифметике, алгебре и геометрии. Следующие два столетия ознаменовались появлением и развитием совершенно новых математических идей, которые мы относим сегодня к дифференциальному и интегральному исчислению. Новые идеи возникли в связи с потребностями науки, в особенности механики и это обстоятельство предопределило появление принципиально новой философии математики. Математика стала рассматриваться не как врожденное и абсолютное знание, а скорее как знание вторичное, опытное, зависящее в своей структуре от некоторых внешних реальностей. Эта философская установка предопределила в свою очередь конкретное методологическое мышление, ярко проявившееся в сфере обоснования дифференциального и интегрального исчислений.
Основным понятием теории математика и философа Лейбница было понятие дифференциала, или бесконечно малого приращения функции. Пусть мы имеем функцию y=f(x). Если мы увеличим ее аргумент (x) на некоторую величину h, то получим приращение функции dy=f(x+h)-f(x). Для Лейбница dy не равно 0, но вместе с тем эта величина столь мала, что, умножив ее на любое конечное число, мы не получим конечной величины. В основном своем определении Лейбниц проводил чуждую математике и вообще здравому смыслу идею неархимедовой величины. Проблема обоснования дифференциального исчисления становилась все более актуальной.
Движение математического анализа в XVIII в. к обоснованию, кажется, можно полностью описать в системе «теория-приложение», те есть как диалектическое взаимодействие этих двух моментов. Необходимость вычисления площадей, ограниченных произвольными кривыми и.т.д. привело к открытию алгоритмов дифференциального исчисления. Приложение этих алгоритмов к новым задачам заставило обобщить и уточнить исходные понятия и сделать более строгими сами алгоритмы. В конечном итоге анализ сформировался как логически непротиворечивая, относительно замкнутая и полная понятийная система.
Возвращаясь к неевклидовым геометриям, нужно отметить, что хотя открытия в науке, как бы они не были велики, сами по себе не являются вкладом в философию, одноко существуют открытия, которые влекут за собой изменения в философии науки, в понимании ее предмета, методов, связи с другими науками. Неевклидовы геометрии – пример одного из таких открытий, чрезвычайно редких в истории науки. До построения неевклидовых геометрий к таким сдвигам в математике, имевшим философское значение, можно отнести только три события, а именно появления самой идеи математики как дедуктивной науки, открытие несоизмеримых величин и открытие дифференциального исчисления.
Поможем написать любую работу на аналогичную тему