Возникновение математики как теоретической науки в Древней Греции. Пифагорейцы.

Истоки математики уходят в глубокую древность. Уже в Древнем Египте и в Вавилоне имелись сведения математического характера, были известны некоторые способы вычислений. Но математика являлась «рецептурной», поскольку представляла собой набор рецептов. Действуя в соответствии с ними, человек получал нужный результат. Ничего похожего на доказательство математика древних египтян и вавилонян не знала.

В египетской математике были установленные истины, которые не могли быть иными. Так, египтянам было известно, что в прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 гипотенуза будет равна 5. Но доказательства они не знали, не знали об свойстве прямоугольных треугольников, доказанным Пифагором.

Появление математики как теоретической дисциплины относится к более позднему времени, а именно к греческому периоду ее развития в VII—VI вв. до н. э. Это связано с появлением доказательства или дедуктивного вывода. Доказательство первых геометрических теорем приписывается выдающемуся греческому философу Фалесу. Фалес впервые доказал, что вертикальные углы равны, что углы при основании равнобедренного треугольника равны и что диаметр делит круг пополам. Если верно, что дедуктивный метод в математику был внесен Фалесом, то надо констатировать, что математика в Греции, начиная с этого момента, развивалась чрезвычайно быстрыми темпами, и прежде всего в плане логической систематизации. В результате математика оформилась как особая наука, она нашла свой специфический метод — метод дедуктивного доказательства, который определяет ее развитие до настоящего времени.

Эта революция была обусловлена многими факторами. Вавилонская математика уже отчасти подготовила базу для нее. Главная причина, однако, состояла в общественном устройстве греческих городов, в высокой динамике общественной жизни. Зачатки математики, выработанные на Востоке, упали в Греции на благодатную почву относительно более высокой светской образованности и логической культуры, уже натренированной в сфере юриспруденции и философии.

Появление математики как систематической науки оказало в свою очередь громадное влияние на философское мышление. Это и естественно. На фоне рода неустойчивых представлений, которые так же трудно доказать, как и опровергнуть, где реальное сплошь и рядом смешано с фантастическим, математика появилась как знание совершенно особой природы, достоверность которого не вызывает никакого сомнения, исходные посылки которого ясны, а выводы совершенно непреложны.

Неудивительно, что в математике греки увидели выражение глубинной сущности мира. Они сделали математику исходным пунктом во всех подходах к описанию действительности. Эта особенность математики нашла свое выражение в философском учении Пифагора и его последователей. Основной тезис пифагореизма состоит в том, что «все есть число». Греческая философия того времени ориентировалась на отыскание первоосновы мира, начала, из которого можно было бы объяснить все происходящее. Для пифагорейцев именно числа играли роль такого начала, роль исходных сущностей, определяющих видимые явления и процессы.

Первой ясно выраженной философией математики был пифагореизм. Пифагорейцы отделяли мир чувственных предметов и явлений, в которых царит случайность, от космоса как идеальной основы мира, которая может быть понята только умозрительно, посредством самого разума. Все, высказываемое о чувственном мире, недостоверно, является только мнением, и лишь утверждения математики, относящиеся к космосу, выступают подлинным знанием, обладающим истинностью и неопровержимостью. Пифагорейцы, таким образом, отделяли математику от других наук по предмету, а также и по методу: математические утверждения опираются не на показания чувств, а на умозрение, т.е. на разум, который способен, как они полагали, непосредственно (без опоры на чувственный опыт) отражать глубинные законы мироздания.

Математика определяла и общее пифагорейское понимание реальности, которое выражалось в положении «Все есть число». Это положение выражало веру пифагорейцев в то, что всякая вещь содержит некоторую присущую ей меру, определенное гармоническое соединение частей, благодаря которому она и существует. Они были убеждены также в том, ; Что вещь может быть познана в своей сущности только через раскрытие •ее числа, ее внутренней пропорциональности. В соответствии с такой | установкой они пытались соединить наиболее значимые для них вещи с числами, которые раскрывали бы их природу. Известно, что богатство и благо они соотносили с числом пять, согласие и дружбу — с числом четыре, вселенную — с числом десять и т.д.

Пифагорейский взгляд на математику был господствующим в античной философии. Мы видим это в диалогах Платона, в особенности, в «Теэтете» и «Тимее». Платоновский Бог-демиург строит мир, опираясь на идею пропорционального соотношения всех его частей. «...Бог поместил между огнем и землей воду и воздух, после чего установил между ними возможно более точные соотношения, дабы воздух относился к воде, как огонь к воздуху и вода относилась к земле, как воздух к воде. Так он сопряг их, построив из них небо, видимое и осязаемое. На таких основаниях и из таких составных частей числом четыре родилось тело космоса, упорядоченное благодаря пропорции, и благодаря этому в нем возникла дружба, так что разрушить его самотождественность не может никто, кроме лишь того, кто сам ее сплотил». Мы видим далее у Платона, что каждое из природных начал соединяется с одним из пяти правильных многогранников: огонь — с тетраэдром, земля — с гексаэдром, вода — с октаэдром, воздух — с икосаэдром. Космос как высшее совершенство имеет форму сферы. Здесь мы наблюдаем первые, еще очень наивные попытки использовать математические объекты для описания реальности, для выражения ее сущностных связей.

Первый удар по пифагорейской философии математики был нанесен развитием самой математики, а именно открытием несоизмеримых геометрических величин. Факт существования несоизмеримых величин подрывал гармонию между арифметикой и геометрией, которая для пифагорейцев была само собой разумеющейся, а также пифагорейскую идеологию в целом. Необходимо было признать в силу самой строгой логики, что при любом выборе единицы измерения найдутся величины неизмеримые и непредставимые отношением натуральных чисел, которые, таким образом, уже не могут быть поняты как соответствующие определенному числу. Но если число является недостаточным уже для описания геометрических величин, то его универсальность для выражения других, более сложных вещей становится в высшей степени сомнительной.

Другая причина постепенного ослабления пифагорейской философии математики состояла в развитии философии, в появлении более обоснованного и убедительного объяснения природы математических объектов. Огромная роль принадлежит здесь Аристотелю, в сочинениях которого дана широкая и в определенном смысле исчерпывающая критика пифагореизма.

Согласно Аристотелю, Пифагор пришел к пониманию числа как универсальной основы всех вещей через изучение музыки. Нетрудно представить, какое впечатление произвело это открытие на мыслителей того времени.

Философия превратилась у пифагорейцев в мистику чисел и геометрических фигур, убеждение в истинности того или иного утверждения о мире достигалось сведением его к числовой гармонии. То, что для современного ученого выглядело бы простой случайностью, пифагорейцам представлялось наполненным глубоким смыслом, выражением «божественного ритма и гармонии».

Итак, математические формы (числа и фигуры), будучи истолкованы в качестве глубинной основы вещей, превратилась и в универсальное орудие их понимания. Механизм объяснения за пределами математики состоял у пифагорейцев не в логическом доказательстве одних положений из других, не в выводе следствий и сравнении их с опытом и даже не в сведении к непосредственной очевидности, но в установлении некоторой структурной тождественности тех или других представлений определенным математическим отношениям. Пифагорейцы искали различные аналоги, числовые и геометрические соответствия в окружающем мира, надеясь найти в них разгадку самой природы вещей. Мысли о случайности таких совпадений еще не возникало. В философии Аристотеля появилось новое понимание математического мышления, которое известно сегодня под названием математического эмпиризма. В основе этой концепции лежит убеждение в первичности опытного знания. По мнению Аристотеля, математические предметы не являются чем-то существующим отдельно от вещей: они связаны с вещами и возникают как таковые из способности отвлечения. «И лучше всего можно каждую вещь рассмотреть таким образом: полагая отдельно То, что отдельно не существует, как это делает исследователь чисел и геометр»2. Смысл этого высказывания состоит в том, что человек, воспринимая вещи во всем многообразии свойств, отвлекается от них, оставляя лишь некоторые из них и исследуя их как отдельно (самостоятельно) существующие. Математика, по Аристотелю, является наиболее абстрактной наукой: если физик отвлекается от всех качеств тел, кроме их движения, то математик отвлекается и от движения, оставляя в сфере своего внимания только фигуры и числа. Математик строит особый идеальный мир, основанный на отвлечениях. Этот мир не является независимым от чувственных вещей, он берется как независимый лишь условно, для ясности и простоты рассмотрения интересующих нас свойств

Что касается природы самой математической закономерности, истоков ее безусловной истинности, то ранние пифагорейцы скорее всего не задумывались над этим вопросом. У Платона, однако, мы находим уже некоторую теорию на этот счет. Математические истины для Платона врождены, они представляют собой впечатления об истине самой по себе, которые душа получила, пребывая в более совершенном мире, в мире идей. Математическое познание есть поэтому просто воспоминание, оно требует не опыта, не наблюдения природы, а лишь видения разумом.

Математик, согласно Платону, изучает особые идеальные сущности, в отличие от сущностей, данных в опыте, эмпирических.

В этих рассуждениях Платоном впервые был поставлен вопрос о специфике объектов, изучаемых математикой, который является одним из основных и в современной философии математики.