Признание неевклидовых геометрий в XIX в. существенно поколебало истинность кантовского априоризма. Эти геометрии показывали возможность существования математических теорий, не обладающих априорной и самоочевидной основой. Аксиоматика геометрии Лобачевского и других неевклидовых геометрий не является очевидной, она обладает лишь логической определенностью. Анализ математических понятий показывал также, что многие из них не обладают и конструктивностью в кантовском смысле. Это свидетельствовало о том, что априористское воззрение на математику ограниченно и не определяет ее истинного предмета и метода.
В конце XIX в. в связи с осмыслением статуса неевклидовых геометрий и теории множеств стала оформляться новая концепция математики, получившая название формалистской философии математики. Основные ее установки могут быть выражены в виде следующих положений:
•математика не является наукой, исследующей аспекты реальности, она представляет собой лишь метод логической трансляции опытного знания и состоит из совокупности структур, пригодных для этой цели; •основным требованием к аксиомам математической теории является не их очевидность и не их связь с опытом, а их непротиворечивость, которая необходима и достаточна для ее приложения к опытным наукам;
•к математике неприменимо понятие истинности в смысле опытного подтверждения. Математическая теория сама по себе не истинна и не ложна. Она становится таковой только после соединения ее понятий с понятиями опытных наук;
•если обоснование содержательной науки состоит в установлении ее истинности, то обоснование математической теории заключается только в доказательстве логической непротиворечивости ее аксиом.
Эти принципы оформились в конце XIX — начале XX в. в работах Г. Кантора, А. Пуанкаре и Д. Гильберта. Ясно, что, принимая этот взгляд на сущность математической теории, мы уходим от трудностей эмпирической и априористской философии математики. От математической теории не требуется больше ни наглядности, ни рациональной очевидности принципов, не требуется опытного происхождения и конструктивности понятий. Для математической теории объявляется существенным только одно требование, а именно требование ее непротиворечивости. Проблема обоснования математической теории понимается с этой точки зрения как строгое доказательство ее непротиворечивости. Философия математики XX в. развивалась в основном в русле этих принципиально новых идей, которые, безусловно, представляют собой более высокий этап в понимании природы математического мышления. Определенная трудность этой концепции состоит в том, что она рассматривает все математические теории как онтологически равноценные и не выделяет традиционных теорий как обладающих особым онтологическим статусом.
Философские дискуссии в математике XIX в. были связаны в основном с развитием геометрии, а именно с истолкованием неевклидовых геометрий. Вопрос о природе математического знания возник в связи с ними снова и не менее остро, чем в предыдущем столетии, в связи с обоснованием исчисления бесконечно малых.
11 февраля 1826 г. профессор Казанского университета Н. И. Лобачевский представил ученому совету физико-математического факультета доклад с изложением основ новой геометрии. Главная идея его состояла в том, что аксиома Евклида о параллельных независима от других аксиом евклидовой геометрии и, следовательно, возможно построить другую геометрию, столь же непротиворечивую, как и евклидова, если в евклидовой геометрии заменить аксиому о параллельных на противоположное утверждение. Значение неевклидовых геометрий состоит прежде всего в том, что их построение и доказательство непротиворечивости представляет собой окончательное решение проблемы о параллельных, занимавшей математиков в течение двух тысячелетий. Они явились не только крупным событием в развитии математики XIX в., но вместе с тем фактом, противоречащим всем сложившимся к тому времени представлениям о природе математического знания. Открытие Лобачевского привело математиков к коренному пересмотру представлений о собственной науке, о ее функции в системе знания, о методах построения и обоснования математических теорий. Можно сказать без преувеличения, что современное понимание математики выросло из попыток осмыслить факт неевклидовых геометрий.
Большинством математиков первой половины XIX в. геометрия понимается чисто эмпирически как наука о реальном пространстве.
Лобачевский назвал свою геометрию воображаемой по той же причине, по какой комплексные числа, несмотря на их широкое использование, назывались мнимыми: не было наличной физической реальности, которой можно было бы оправдать введение таких образов и к описанию которой можно было бы их непосредственно приложить.
В духе своего времени Лобачевский также рассматривал геометрию прежде всего как опытную науку, как дисциплину, обоснование которой должно быть найдено в опыте, а именно в правильности наших измерений. В соответствии с этим воззрением он пытался доказать справедливость своей новой геометрии посредством измерений, а именно через подсчет углов астрономических треугольников.
Лобачевский, как можно заключить из некоторых его высказываний, испытывал некоторые колебания в вопросе о путях оправдания новой геометрии. Так, он пишет в статье «О началах геометрии»: «Очень вероятно, что эвклидовы положения одни только истинные, хотя и останутся навсегда недоказанными. Как бы то ни было, новая геометрия, основание которой здесь уже положено, если и не существует в природе, тем не менее может существовать в нашем воображении и, оставаясь без употребления для измерений в самом деле, открывает новое обширное поле для взаимного применения Геометрии и Аналитики» . Здесь Лобачевский, как мы видим, делает основной акцепт на внутриматематической ценности своей геометрии.
Основные направления философского обоснования неевклидовых геометрий в XIX в.
В 1854 г. Б. Риман выдвинул концепцию «n-мерных геометрических многообразий — чрезвычайно общее понимание пространства, в котором геометрия Лобачевского заняла определенное место как трехмерная геометрия с отрицательной кривизной. Тем самым эта геометрия становится узаконенной, необходимой частью математики при ее систематическом развитии.
Л. Кронекер начали использовать неевклидовы геометрии как эффективный аппарат для решения различных задач в теории функции и других областях математики. Сам принцип построения новой математической теории через изъятие и замену аксиом, примененный при создании неевклидовых геометрий, был положен в основу исследований по основаниям математики, которые к концу XIX в. стали превращаться в особую, все более важную область математических исследований. Можно сказать, что к 80-м гг. XIX в. собственно математическое значение неевклидовых геометрий было вполне осознано.
Философское понимание новой геометрии не сделало, однако, к этому времени сколько-нибудь существенного шага вперед. История признания неевклидовых геометрий в XIX в. является одним из наиболее ярких примеров отставания философской концепции науки от роста ее содержания. Признание этих геометрий, совершившееся под давлением внутренних потребностей математики, поставило перед философией математики вопросы, на которые долгое время не удавалось найти сколько-нибудь удовлетворительного ответа. Основные из них следующие:
Каков эмпирический статус неевклидовых геометрий? Является ли реальное пространство евклидовым?
Какова природа математических аксиом? Существование неевклидовых геометрий, очевидно, противоречит убеждению эмпиризма об опытном происхождении геометрических аксиом. С другой стороны, оно противоречит н утверждению об априорном характере аксиом, так как если аксиому Евклида о параллельных считать взятой из чистого созерцания, то противоположную аксиому уже, очевидно, нельзя считать таковой.
Эти вопросы встали во всей остроте в 70-х гг. XIX в., когда неевклидовы геометрии уже были признаны в математике, когда они стали фактом, требующим какого-то оправдания с точки зрения общего понимания этой науки.
Большой вклад в правильное понимание неевклидовых геометрий внес выдающийся французский математик А. Пуанкаре. Пуанкаре был одним из первых математиков, увидевших несостоятельность чисто эмпирического понимания геометрии. Математическое вообще и геометрическое, в частности, утверждение — это точное утверждение, которое не опровергается н не дополняется исторически таким образом, как положения физики, химии или другой опытной науки. Если бы Гаусс или Лобачевский нашли, что сумма углов у некоторых реальных треугольников меньше 180°, то это, по мнению Пуанкаре, не свидетельствовало бы о ложности евклидовой геометрии, но говорило бы лишь о том, что световые лучи не подчиняются ее аксиомам. Тезис о необходимости (неопровержимости через опыт) геометрических истин, с точки зрения Пуанкаре, безусловно верен.
Вместе с тем Пуанкаре не принимал учение Канта об априорности геометрических аксиом. «Можно спросить, — писал он, — что представляют собой эти гипотезы (аксиомы геометрии)? Факты ли это, полученные из опыта, или суждения аналитические или синтетические a priori? Мы должны ответить отрицательно на эти три вопроса. Если бы эти гипотезы были фактами опыта и наблюдения, то геометрия подлежала бы постоянному пересмотру и не была бы наукой точною; если бы это были синтетические a priori суждения, а тем более аналитические, то невозможно было бы отрешиться от них, и на их отрицании ничего нельзя было бы построить». Пуанкаре развивает взгляд на аксиомы, получивший в дальнейшем наименование конвенционализма, как на утверждения, в становлении которых известную роль играет опыт, но которые формируются по соображениям простоты и удобства. Пуанкаре признает основной тезис эмпиризма, а именно — если бы не было твердых тел в природе, то геометрия не существовала бы. Вместе с тем, по его мнению, геометрия все-таки не наука о твердых телах: она изучает не твердые тела, а идеальные представления о них, и эти идеальные представления уже не подвергаются контролю опыта, независимы от него в своей структуре.
После принятия неевклидовых геометрий в западноевропейской науке укреплялась мысль о том, что доказательства математики не требуют свидетельства чувств, а отсюда утверждалось понимание того, что по мере развития науки наглядности становится меньше, что теоретические построения всё дальше удаляются от наглядности.
Поможем написать любую работу на аналогичную тему