Создание аналитической геометрии. Возникновение первых понятий математического анализа.

1.Математика 17 го века. С начала 17го века до 1870-го года - это математика переменных величин.

Изменяется роль математики. К изучению чисел (постоянные величины) добавляется движение и преобразование. Содержание математики приобретает облик математики переменных величин.

2). В 17 веке формируется аналитическая геометрия, как метод выражения численных соотношений размеров, свойств геометрических объектов. Используется метод координат, который ввели Декарт и Ферма.

3). Появляется понятие функциональной зависимости, т.е. создается начала анализа.

4). Создается интегральное исчисление в работах Кеплера и Кавальери.

5). Бурно развивается механический стиль.

6). В работах Ньютона и Лейбница устанавливается связь между дифференциальным и интегральным исчислением.

7). Происходит снижение уровня строгости в математике.

8). Математика развивается преимущественно в Европе.

2 .Открытие метода координат принадлежит Р. Декарту (1596-1650) и П. Ферма. Начнём с Декарта (1596-1650). Он исключительный учёный. Основное произведение Декарта: «Рассуждение о методе координат». Положило начало  философскому рационализму. Декарт считал, что, начиная исследования нужно выделить некоторые основные положения. Всякую проблему нужно разбивать на части и опираясь на найденные положения, переходить от простого к сложному, и все исследуемые объекты нужно классифицировать. Сочинение Декарта имеет 3 приложения, последний из которых называется «геометрия», где изложены основные идеи, позволившие ему создать метод координат, с помощью которого была установлена связь геометрии с алгеброй и наоборот.

Основные идеи Декарта:

1). Неизвестные он обозначал  последними буквами латинского алфавита ( u,v,x,y), а известные – начальными..(а,в,с…)

2). Он ввел ось абсцисс – прямая, на которой отмечена начальная точка и единичный отрезок. С помощью него измерялась длина любого отрезка. Положение точки на плоскости определялось двумя точками (х;y), где х – длина отрезка ОР, y – высота подъема точки над осью. Для кривой  у Декарта появляется запись: y=f(x) – функциональная зависимость.

3). Алгебраическое уравнение f(x;y)=0 соответствовало некоторой кривой, координаты точек которых удовлетворяют уравнению. Если уравнение х2+y2=4 прежде мыслилось как уравнение 2 степени с двумя неизвестными теперь то уравнение окружности.

4). Так как можно вводить координаты, независимо от кривой, то записывая уравнений различных кривых и решая систему можно  выяснить их взаимное расположение. Для решения систем уравнений можно прибегать к графическим иллюстрациям.

5). Знаки + и – Декарт предложил использовать не только как знаки действия, а и для определения положения точки на плоскости. х2=1 имеет два корня. Один истинный, другой ложный, которые изображаются на оси точками симметричными относительно оси. Но с точки зрения геометрии эти решения становятся равноправными. Таким образом, Декарт дал геометрическую интерпретацию отрицательных чисел, хотя сам не признавал их.

6). По мнению Декарта уравнение у2=-1 имеет два "воображаемых" корня, которым не соответствуют ни какие точки плоскости, но с помощью таких корней легче строить общую теорию алгебраических уравнений.

7)В "Геометрии"  Декарт изложил общую теорию алгебраических уравнений, причем он стал записывать уравнение в форме а0+а1х+а2х2+…+ апхп=0.

Он сформулировал теоремы о том, что алгебраическоке уравнение степени п имеет ровно п корней, если считать положительные, отрицательные и "воображаемые" (основная теорема алгебры).До Декарта оно была сформулирована  А. Жираром (1509-1633).

8) Декарт считал, что имеет смысл рассматривать кривые, заданные алгебраическими уравнениями. Он разработал метод нахождения касательных к алгебраическим кривым, изучал свойства кривых заданных уравнением:х3+у3-3аху=0 – Декартов лист.

В результате образовалась ветвь математики, которая получила свое новое развитие. Что касается ограниченности на алгебраичность кривых, то она была преодолена во 2 половине 17 века. В работах Ньютона и Лейбница, который разработал общие приемы исследования кривых.

Современное введение координат в пространстве было дано в трудах Эйлера (18 век). В 19 веке возникла многомерная геометрия, в 20 веке – бесконечномерная.

В трудах Декарта нет того что носит название аналитической геометрии им был сделан только первый шаг. Большая заслуга в деле создания аналитической геометрии принадлежит Ферма. Именно он ввел ПДСК на плоскости, аффинные координаты, он показал что уравнение 1ой степени  задают кривую 2 ой степени – гиперболу, эллипс, параболу.

Пьер Ферма был юристом, работал в суде. Он был самоучкой. В 1679 году опубликовал тот самый труд. Ферма придерживался античной строгости всего. У него такая классификация задач: плоские задачи – с помощью циркуля и линейки, телесные – с помощью сечений. И линейные.

Ферма записал канонические уравнения кривых второго порядка. Он делал преобразования координат, приводил общие уравнения к каноническому виду. Он использовал принцип однородности и пользовался символикой Виета.

3. Одной из проблем математического анализа была необходимость представления функциональных зависимостей самого различного вида, которое позволило бы распространить все операции мат. анализа на известные к тому времени функции. Для этого необходимо дать общее понятие о функциях, классификацию функций и выделить универсальные методы оперирования с ними. Т. о. теория функций – основная задача мат. анализа – была решена в 1748 г. в работе «Введение в анализ бесконечно малых» Эйлером. До него введение функции было предложено впервые Декартом. Декарт считал, что надо упорядочить правила, по которым ведётся познание. Его поиски универсального метода привели к созданию аналитической геометрии. Декарт рассматривает переменные величины. Основной объект – понятие функции. Потом – функциональной зависимости. Понятие функции утверждается в двух школах: Парижской и Оксфордской. Приходит понимание, что законы природы надо записывать в виде зависимостей и в виде функций. Декарт делит все функции на механические и геометрические. Декарт таким образом изгнал механические из анализа, т.к. не смог дать им аналитическое выражение. Он считал, что каждую аналитическую кривую можно построить с помощью шарнирного механизма. Трансцендентные функции он так построить не смог. Вот он и выбросил их из математики, тем самым затормозив развитие анализа. Механические он классифицировал по родам. К одному роду у него могли относиться функции, которые задавались полиномами n и n-1 й степени. По порядку уравнения классификация была проведена Ньютона. Декарт изучал кривые методами алгебры. Он отменил принцип однородности Виета. Декарт сумел все аналитические кривые при помощи метода координат описать функциями. Более последовательно геометрия была построена Пьером Ферма, но из-за неудачной символики и использования принципа Виета его геометрия не стала популярной