Основные предпосылки возникновения дифференциального и интегрального исчисления.

1.Создание дифференциального и интегрального исчисления - основное событие математики 17 века.

Для открытия дифференциального и интегрального исчисления к 17 в. сложился ряд предпосылок:

• формирование символической алгебры и прогресс вычислительной техники. Кардано, Виет, Непер, Шнеке, Стевич, Роберваль;

·   введение в метрику переменной величины и координатного метода. Рене Декарт, Ферма;

·   усвоение инфинитезимальных идей и методов древних. Евдокс, Архимед;

·   накопление частных методов, решение задач на вычисление квадратур, центр тяжести, касательных и нормалей к кривым, кубатур.

Непосредственной причиной для открытия математического анализа была революция в астрономии, многие задачи которой требовали применения инфинитезимальных соображений.

В дальнейшем задачи небесной механики дали возможность пополнить и земную механику рядом аналитических методов.

Кеплер (1571 – 1630). Он был профессором математики и морали в университете города Грац (Австрия)

Основная работа Кеплера «Новые стереометрии винных бочек». В данной работе предлагается особый метод оперирования с бесконечно малыми величинами, который состоял в разбиении измеряемой величины на очень мелкие части и нахождение их суммы с помощью некоторых геометрических соображений.

Вычислим площадь круга методом Кеплера.

Разобьем круг на очень большое количество секторов, каждый из которых можно приближенно принять за треугольник.

Метод Кеплера был не строгим и основывался на ряде индуктивных допущений, однако с его помощью Кеплеру удалось вычислить объемы разнообразных тел вращения: тора, яблока, вишни, лимона.

Таким образом, Кеплер осуществил первую попытку создания регулярного алгоритма с бесконечно малыми, которая послужила исходным пунктом для возникновения более строгих и общих методов.

Что касается дифференциальных методов, то в то время потребовалось понятие мгновенной скорости. Изменилось понятие касательной. То есть теперь это – предельное положение секущей, а не прямая, лежащая по одну сторону от кривой и имеющая с ней одну общую точку.

Развитие дифференциальных и интегральных методов в первой половине 17 века и установление связи между этими методами создало теоретические предпосылки для построения основ общего дифференциального и интегрального исчисления с тем, чтобы можно было решать по единому способу все более часто выдвигающиеся практикой различные задачи на нахождение квадратур, касательных и экстремумов.

Это сделали одновременно и независимо тремя учёными: Исаак Ньютон, Вильгельм Лейбниц

В бумагах Ньютона потом нашли все правила дифференциального исчисления. Как находил производные неявной функции – давал приращение аргументу, рассматривалась разность значений функций в этих точках, он получал производную для неявной функции.

Ньютон считал, что интегрирование – это задача, обратная к дифференцированию. Поэтому он ввёл неопределённый интеграл (флюксию). Определённый интеграл задавался по формуле Ньютона-Лейбница. Ньютон  не придавал большого значения обозначениям, потом он стремился перенять  у Лейбница.

У Лейбница преобладал геометрический подход. Он пользовался дифференциальным треугольником

 «Следует заботиться о том, чтобы знаки были удобны при открытии…» - вот так он говорил. Определённый интеграл  него – это бесконечная сумма бесконечно малых дифференциалов. Дифференциал и интеграл в его подходе – обратные операторы. Сначала интеграл у него обозначался суммой. У него был операционный подход.