Особенности математического знания. Онтологический статус математических объектов

Нередко особенность математического знания видят в том, что она оперирует понятиями высокой степени абстрактности, благодаря чему ее объекты носят очень общий характер, выражая самые общие свойства реального мира. "Именно потому, что в математике употребляются абстракции высоких уровней, - пишет, например, А. Вахидов, - мы имеем дело с "жесткими" объектами, в которых выделено лишь самое существенное, относящееся к их количественной природе".

Оценивая математику как науку, достигающую высшей меры абстрактности, А. Насынбаев особо выделяет опосредованный характер ее понятий, поскольку она работает не с предметами природы, а с их мысленными идеализациями, ибо в мире нет идеальных окружностей, треугольников, квадратов.

Все это, безусловно, справедливо: и высокая абстрактность, и "жесткость", и опосредованность.

Достаточно отвлеченной степени общности и даже всеобщности владеют и некоторые другие науки. Не только философия, а также физика, логика. Равно и характеристика "жесткости". Вообще, делая заявления относительно физических объектов, не приходится говорить о постоянстве структур и размерностей, поскольку на границах тел непрерывно совершаются перемены, подтачивающие инвариантную строгость. Тем не менее в определенных рамках эти объекты принимаются себетождественными. Считается, что математические объекты в наибольшей степени удовлетворяют закону тождества, ибо они настолько обработаны мыслью, что им не оставлено возможности для каких бы то ни было изменений.

Наконец, свойство математики представлять опосредованное отношение к миру. В этом особой привилегии у нее нет. Любая наука, если она желает быть теоретической, адресует свои высказывания реальности не прямо, а через концептуальные системы. Так, в классической механике материальные тела представлены идеализированными образами материальных точек и абсолютно твердых тел. В еще большей степени теоретичны и опосредованы понятия неклассической физики.

Таким образом, с точки зрения общности, инвариантности и теоретизации математика не составляет исключения, отличаясь лишь уровнем обобщений или глубиной ее инвариантов. Специфика математики не в степени абстрактности, "жесткости" и т.п. ее объектов, а в самой природе абстракции, которая является отвлечением не просто свойств, а свойства свойств, представляя в силу этого абстракцию от абстракции или предикат от предиката (предикат — конститутивный член суждения — то, что высказывается (утверждается или отрицается) о субъекте).

Любое понятие имеет объем и содержание. Объем - это совокупность предметов, элементов, охватываемых данным понятием, их множество, класс. А содержание есть совокупность свойств, признаков, которыми обладают элементы и благодаря которым они входят в объем соответствующего понятия.

Символически понятие записывается в виде логической функции P(x), где P - предикат, фиксирующий определенное свойство, а x - переменная, пробегающая значения индивидов предметной области, обнимаемой понятием. Если предикатом является выражение "быть человеком", то в качестве значений переменной x должны выступать имена конкретных людей. Тогда при подстановке вместо переменной определенных имен будем получать либо истинные ("Аристотель - человек, "Сократ - человек" и т.п.), либо ложные (скажем, "Буцефал - человек") высказывания. Тем самым мы определяем предметную область понятия, включающую лишь те объекты, имена которых при подстановке вместо переменной дают истинные высказывания.

Теперь возьмем математическое понятие. Например, число, притом, вначале не абстрактное число вообще, а конкретное: 5, 7, 8 и т.д.

Обнаруживается, что в качестве предиката количественная характеристика не может относиться непосредственно к пересчитываемым предметам. Числа  решительно никак не связаны с индивидуальной характеристикой считаемых объектов.

Но если число не имеет никакого отношения к предметам, которые оно обозначает, что же тогда оно описывает? Количественная характеристика относится не к отдельным вещам, а к их совокупностям, к целым множествам, которые и образуют объем соответствующего числа, выступающего как понятие.

Таким образом, число есть свойство целого класса объектов, каждый из которых, в свою очередь, содержит соответствующее число вещей (индивидуумов). Скажем, число 5 - это класс всех пятерок, 7 - множество семерок и т.д. То есть получается, что число представляет собой класс классов.

Это арифметика. На порядок выше абстракция в алгебре, где символ обозначает уже не конкретное число, но любое число (точнее, число, определенное порядком). Из этого следует, что в алгебре мы имеем дело с классом, который составлен из классов, включающих конкретные множества. Однако есть абстракции еще более высокого порядка, когда символы обозначают не только математические объекты. Например, алгебра логики Буля.

Конечно, абстракции, (как и абстракции более высоких порядков) имеют место и в других науках. Не значит ли это, что у математики никакой специфики нет?

Оперируя с совокупностями конкретных объектов математик не анализирует свойства входящих в совокупности объектов. Он берет в качестве исходной абстракции сами совокупности, здесь важно не "что", а "сколько". То есть в алфавит математического языка включаются объекты не ниже первого типа (классы, классы классов и т.д.). В других же науках алфавит составлен из объектов нулевого типа (вещи). Аналогично точка в физике хотя и не имеет измерений, но обладает массой, математическая же точка не наделена никакими физическими свойствами.

Математика не  является  эмпирической наукой, т.к. в математике не различаются уровни эмпирического и теоретического познания. В процедурах математического описания нет ссылок на опыт.

(Онтология раздел философии, в котором рассматриваются всеобщие основы, принципы бытия, его структура и закономерности.) Вопрос об онтологическом статусе математики, т.е. какие типы объектов (какой тип реальности) изучает математика.

Этот вопрос закономерен в силу специфики математики, не являющейся описанием вещей. Врач изучает болезни, астроном - звезды и т.п. Существовали ли бы болезни, не будь врачей или звезды, не имейся астрономов? Очевидно, существовали бы. А существовали бы числа, если бы не было математиков?

Проблемный вопрос, как существует математический объект, представляемый знаком, вернее, где он существует? Если в бытии, то где именно? Если же в сознании, то в чьем конкретно: коллективном или индивидуальном?

По этой проблеме традиционно враждуют две основные линии - реализм и номинализм. Одни математики (А. Черч, К. Гедель) считают, что числа существуют так же реально, как обычные вещи, и мы обращаемся с ними наподобие того, что делаем с предметами или того, как поступаем с людьми, встречая и провожая их. "Математические объекты существуют вне нас в силу той же необходимости, как и объекты реального мира, которые мы узнаем или открываем и изучаем точно так же, как делают физики, химики, зоологи".

Эта позиция и была обозначена термином "реализм" в соответствии с одноименным философским понятием, ведущим начало еще от древних греков и связанных с именем Платона (V-IV вв. до н.э.), имея другое распространенное название "платонизм". По учению Платона, сущность вещей заключена в универсалиях, идеальных образованиях, существующих до и независимо от действительных предметов, которые есть лишь бледные копии реалий, временные и преходящие. В более ослабленной версии реализм развивался школой Аристотеля, позднее - Фомой Аквинским.

С точки зрения философской оценки это объективный идеализм, принимающий природу порождением некой идеи. Большинство математиков, говоря о статусе чисел и других математических объектов, считает их реально сущими.

Другое направление (Н. Гудмэн, В. Квайн) придерживается той установки, что в мире не существует ни классов, ни множеств и чисел как таковых в качестве реальных объектов, ибо существует только то, говорят они, что существует, то есть имеет пространственно-временную координату. Поэтому реальны лишь отдельные вещи и их имена. Отсюда и название этого течения - номинализм (от лат. nomen - имя). Существовать, в понимании, например, Квайна, значит быть значением квантифицированной переменной, то есть принимать одно из значений, которые пробегает подкванторный знак при подстановке вместо последнего имени конкретного объекта.

В плане практического применения в математических операциях номинализм крайне неудобен, поскольку сторонники этого направления используют вместо привычных теоретико-множественных формулировок иные выражения. В частности, отношение элемента и множества заменяется у них отношением части и целого, для чего вводится понятие "частица" как обозначение самого малого в соответствующих классах (целом), а затем производится сравнение множеств на предмет выяснения их отношений по критериям "больше", "меньше", "равно" и т.п.

Не принимая числа в качестве классов, номиналисты вынуждены каждый раз производить с числом реинтерпретацию, то есть приводить его в нормальную форму, а это громоздко и сложно.

Вместе с тем, с философской точки зрения номинализм более приемлем, чем реализм, так как опирается на идеи материализма, хотя это, конечно, наивный, непоследовательный его вариант, олицетворяющий скорее даже тенденции материализма, поскольку отрицает объективность общего в качестве свойства, присущего отдельным вещам. В этом отношении ближе к научному пониманию концептуализм, представляющий умеренный номинализм. Так Г. Лейбниц, разделяющий этот взгляд, понимает проблему существования общего следующим образом. Допустим, перед нами стадо овец, состоящее из отдельных его голов: a, b, c, d. Следовательно, мы имеем объекты a, b, c, d и еще объект F (стадо). Но ведь стадо разбрелось окрест, и что осталось? Одни конкретные овцы. Таким образом, общее - это не что иное, как наши понятия, концепты ума. Они существуют наряду с именами индивидуальных предметов, но так же лишь в качестве имен.