Закон сохранения момента импульса и принципы симметрии

Для вращающихся систем сохраняется величина, называемая моментом импульса (или угловым моментом). Закон сохранения момента импульса определяет динамику галактик, планет и элементарных ядерных частиц. Момент импульса тела по величине равен произведению импульса тела на расстояние до оси вращения: М = mvr .

Для сил, способных вызвать вращение тел, в физике используется понятие момента силы. Его величина определяется произведением расстояния от точки приложения силы до центра вращения на компоненту силы, перпендикулярную этому направлению. Если сила F приложена к точке А, расположенной на расстоянии г от оси вращения, вектор силы перпендикулярен линии АВ, и создается момент силы и . Когда же направление приложенной силы проходит через центр вращения, она не создает момента силы относительно точки В. Примером может служить дверь: приложенная к ручке сила приводит дверь во вращение относительно линии косяка или дверных петель, но вращения не будет в случае приложения силы вдоль линии петель. Если сила направлена под углом к оси, то вращение вызывает только перпендикулярная составляющая силы, или rF sin φ.

«При отсутствии действия внешних сил действует закон сохранения импульса для поступательного движения и момента импульса – для вращения».

Скорость тела, совершающего круговое движение, выражается через длину окружности, деленную на период Т: v = 2πr/T. Тогда момент импульса L можно выразить через период вращения:

L = mvr = m (2π/Т) г2.

Отсюда видно, что момент импульса при вращении зависит не только от массы и скорости тела, но и от положения точки, в которой находится масса тела. Повседневный опыт подтверждает наш вывод. Допустим, вам необходимо раскрутить до одинаковой скорости два колеса с равными массами и размерами, но отличающиеся распределением масс: у одного колеса почти вся масса сосредоточена вблизи оси вращения, у другого – на ободе. Вы убедитесь, что второе колесо (похожее на велосипедное) труднее раскрутить, но и труднее остановить, т.е. его инерция больше. Поэтому для вращения удобнее использовать не понятие инертной массы, а понятие, связанное с распределением массы, или момент инерции, обозначаемый I: I = ∫ г2 dm, где элемент массы dm расположен на расстоянии г от оси вращения. Тогда импульс вращающегося тела примет вид: L = .

«Перераспределение массы при вращении изолированной системы в силу закона сохранения момента импульса меняет (уменьшает или увеличивает) угловую скорость вращения. Так, опытная фигуристка за счет перегруппировки собственной массы достигает больших скоростей вращения». Вы можете убедиться в этом сами: сядьте на крутящийся стул, держа в вытянутых руках гантели, и начните вращение, затем резко прижмите руки к груди – ваша угловая скорость увеличится. В силу изолированности системы момент импульса должен сохраняться L = mωг2, и ясно, что уменьшение г — расстояния, на котором расположена часть массы системы, должно привести к увеличению угловой скорости ω. Поскольку в формулу для L угловая скорость входит в квадрате, то уменьшение радиуса, например в два раза, приводит к увеличению угловой скорости в 4 раза.

Возьмем другой пример. Как известно, Земля вращается вокруг Солнца по эллипсу, поэтому расстояние от нее до Солнца меняется. Если пренебречь влияниями Луны и других небесных тел на вращение Земли (они малы), то ее момент импульса должен сохраняться при движении вокруг центрального тела. Он не должен изменяться ни в ближайшей к Солнцу точке r1 (называемой перигелием, греч. peri..."вокруг, около, возле"), ни в самой удаленной г2 (называемой афелием, греч. aphelios < аро..."вдали от"). Поскольку г1 < г2, мы должны получить v1 > v2, т. е. скорость Земли в перигелии максимальна. Земля находится в перигелии 3 января, в афелии – 3 июля, поэтому, можно сказать, что зимняя скорость обращения Земли превышает летнюю.

«Момент импульса является векторной величиной, поэтому в изолированной системе сохраняется не только его значение, но и направление». Направление вектора  определяется по правилу правого, буравчика. Направление момента импульса вращающегося колеса трудно изменить, именно поэтому человек удерживает равновесие только на движущемся велосипеде, и велосипедист при повороте направо (если он не держится за руль) должен отклониться вправо, чтобы сохранить равновесие. Все эти явления можно проследить на вращающемся волчке: его ось вращения, сохраняя свой наклон по отношению к горизонтали (почему волчок и не опрокидывается), в то же время описывает конус вокруг вертикали, или прецессирует.

Обратимся еще к одному свойству симметрии пространства – его  изотропности. Изотропность пространства означает инвариантность физических законов относительно выбора направлений осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

Из изотропности пространства следует фундаментальный закон природы – закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнуто системы сохраняется, т е. не изменяется с течением времени.

Связь между симметрией пространства и законами сохранения установила   немецкий   математик   Эмми   Нётер   (1882-1935).   Она сформулировала и доказала фундаментальную теорему математической физики, названную ее именем, из которой следует, что из однородности пространства и времени вытекают законы сохранения соответственно импульса и энергии, и из изотропности пространства - закон сохранения момента импульса.

«Выявление различных симметрии в природе, а иногда и постулирование  их  стало  одним  из  методов  теоретического  исследования свойств микро-, макро- и мегамира. Возросла в связи с этим роль весьма сложного и абстрактного математического аппарата - теории групп - наиболее адекватного и точного языка для описания симметрии». Теория групп – одно из основных направлений современной математики. Значительный вклад в ее развитие внес французский математик Эварист Галуа (1811- 1832), жизнь которого рано оборвалась: в возрасте 21 года он был убит на дуэли.

С   помощью   теории   групп   русский   минералог   и   кристаллограф Е.С. Федоров (1853-1919) решил задачу классификации  правильных пространственных систем точек –  одну из основных задач кристаллографии. Это исторически первый случай применения теории групп непосредственно в естествознании.

Существенное ограничение об однородном и изотропном пространственном распределении материи во Вселенной, налагаемое на уравнения общей теории материи и составляющее основу космологического принципа, позволило А.А. Фридману (1888-1925) предсказать расширение Вселенной.