Связи и отношения между числами натурального ряда. Методика обучения сравнению смежных чисел.

Теоретические основы формирования элементарных математических представлений у дошкольников включают детальное изучение лишь системы натуральных чисел. Поэтому, говоря «числа», мы имеем в виду натуральные числа.

В конце XIX в. была построена порядковая теория натуральных чисел, которая обычно связывается с именем итальянского математика Джузеппе Пеано (1858–1932), построившего эту теорию аксиоматической основе.

Натуральный ряд обладает следующими интуитивно ясными свойствами (принятыми Пеано в качестве аксиом, характеризующих эту структуру):

I. Единица непосредственно не следует ни за каким натуральным числом, т.е. не является «правым соседом» никакого другого натурального числа, это «первое» натуральное число.

II. Для любого натурального числа существует одно и только одно непосредственно следующее за ним натуральное число, т.е. любое натуральное число имеет только одного «правого соседа».

III. Любое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом, т.е. единица не следует ни за каким, всякое другое натуральное число – точно за одним.

Всякое натуральное число, кроме единицы, является «правым соседом» одного и только одного натурального числа, его «левого соседа».

IV. Если какое-нибудь множество М натуральных чисел (M Í N) содержит 1 и вместе с некоторым натуральным числом х содержит и натуральное число х’, непосредственно следующее за х, то это множество совпадает с множеством всех натуральных чисел (M = N).

Предложение IV, хотя по своему содержанию более сложно, чем первые три, также выражает достаточно простое свойство: с помощью последовательного прибавления единицы, начиная с единицы, можно получить все натуральные числа. Всякий раз, когда доходим до некоторого числа х, допускается возможность написания непосредственно следующего за ним числа х’.

Натуральный ряд в описанном представлении мыслится потенциально бесконечным. С этой точки зрения процесс его образования незавершаем, предполагается лишь, что после каждого шага процесса мы располагаем возможностью осуществления следующего шага.

Свойства I–IV характеризуют структуру «натуральный ряд» только с точки зрения отношения, названного «непосредственно следует за». Но это построение можно дополнить свойствами, характеризующими операции сложения и умножения в множестве N.

Расширим теперь систему свойств I–IV таким образом, чтобы получить характеристику структуры (N, 1, ‘, +, •).

Знак + обозначает операцию «сложение», сопоставляющую с каждой парой (х, у) натуральных чисел натуральное число х + у, называемое их суммой и обладающее следующими свойствами:

V. х + 1 = х’, т.е. сумма любого натурального числа х с числом 1 равна непосредственно следующему за х числу х’.

VI. х + у’ = (х + у)' т.е. сумма любого числа х с числом у’, непосредственно следующим за любым числом у, равна числу, непосредственно следующему за суммой х + у.

Знак • обозначает операцию умножения, сопоставляющую с каждой парой (х, у) натуральных чисел натуральное число х•у, называемое их произведением и обладающее следующими я свойствами:

VII. х•1 = х, т.е. произведение любого натурального числа х и числа 1 равно числу х (умножение какого-нибудь числа на единицу не меняет это число).

VIII. х•(у’) = (х•у) + х, т.е. произведение числа х на число, непосредственно следующее за числом у, равно произведению чисел х и у, сложенному с числом х.

Из свойств I–VIII выводятся все остальные свойства порядка и операций сложения и умножения натуральных чисел.

Покажем в качестве примера, как, исходя из перечисленных свойств, можно получить таблицу сложения.

Будем исходить из знания того, что непосредственно следующее число за каждым однозначным числом уже получено:

1’ = 2; 2’ = 3; 3’ = 4; 4’ = 5; 5’ = 6; 6’ = 7; 7’ = 8; 8’ = 9; 9’ = 10.

Исходя из свойства V, получаем таблицу «прибавления единицы»:

Таблица «+1»

1 + 1 = 1’ = 2;

2 + 1 = 2’ = 3;

3 + 1 = 3’ = 4;

………………

9 + 1 = 9’ = 10.

Теперь, зная таблицу «+1» и используя свойство VI, можем вывести, например, чему равно 2 + 2:

2 + 2 = 2 + 1’ = (2 + 1)’ = 3’ = 4.

Аналогично 3 + 2 = 3 + 1’ = (3 + 1)’ = 4’ = 5 и т.д.

Сравнение последовательных чисел натурального ряда вводится с опорой на сравнение множеств.

СРАВНЕНИЕ СМЕЖНЫХ ЧИСЕЛ

Сравнивать смежные числа — значит определять, какое из них больше, а какое меньше.

С опорой на наглядный материал дети уже сравнивали смежные числа. На основе «сопоставления 2 совокупностей, в одной из которых на 1 предмет больше (меньше), чем в другой, их знакомили с приемами получения всех чисел до 10. Поэтому они имеют представление о связях между числами, т.е., какое из смежных чисел больше (меньше) какого.

Необходимо углубить эти представления. На конкретных примерах детям раскрывают постоянство связей между смежными числами (3 всегда больше 2, а 2 меньше 3, и т. д.). С самого начала подчеркивают, что понятия «больше», «меньше» относительные, каждое число (кроме единицы) больше или меньше другого в зависимости от того, с каким числом его сравнивают (3>2, но 3 < 4). Начинают формировать представление об определенной последовательности чисел.

Практическое установление разностных отношений между смежными числами позволяет подвести детей к пониманию взаимно-обратных отношений между ними (4 больше 3: если к 3 добавить 1, будет 4; 3 меньше 4: если от 4 отнять 1, будет 3). Отношения между смежными числами изучаются уже в подготовительной к школе группе.

Детей учат сравнивать все числа в пределах 10. Начинать работу целесообразно со сравнения чисел 2 и 3, а не 1 и 2.

Наглядной основой сравнения чисел служит сопоставление 2 совокупностей предметов. При сопоставлении 2 предметов с 3 более четко выступают количественные соотношения, чем при сопоставлении 1 предмета с 2. 1 предмет еще не воспринимается ребенком как множество, включающее 1 элемент. Ярко выраженные свойства предмета отвлекают детей от установления количественных соотношений совокупностей.

Показать постоянство связей между числами позволяет неоднократное сравнение одних и тех же смежных чисел с опорой на сопоставление совокупностей разных предметов.

Например, сопоставив 2 матрешек с 3 кубиками, выясняют, что матрешек меньше, чем кубиков, а кубиков больше, чем матрешек. Значит, 2 меньше 3, а 3 больше 2. Проверяют, всегда ли это так. Для этого 2—3 раза меняют счетный материал. Сопоставляют другие совокупности, состоящие из 2 и 3 предметов, и делают вывод, что 3 всегда больше 2, а 2 меньше 3.

Аналогичным образом сравнивают еще 2—3 пары смежных чисел. Работу детей организуют одновременно е разным счетным материалом. Одни дети сопоставляют, например, 4 елочки и 5 грибочков, другие — 4 утенка и 5 цыплят, третьи — 4 круга и 5 квадратов и т. д. Выясняют, что во всех случаях 5 больше 4, а 4 меньше 5.

Выяснение отношений «больше», «меньше» в связи друг с другом способствует формированию представления о взаимно-обратном характере отношений между числами.

Большое внимание уделяют упражнению детей в уравнивании совокупностей. Уравнивая совокупности, дети практически устанавливают разностные отношения между смежными числами. Полезно сопоставлять совокупности предметов разных размеров или занимающих разную площадь. Это позволит параллельно закреплять представления о независимости числа предметов от их пространственных свойств.

Сопоставление совокупностей предметов, отличающихся размерами, формой расположения и пр., позволяет акцентировать внимание детей на значении приемов поштучного соотнесения предметов (наложения, приложения и др.) для выяснения отношений «равно», «не равно», «больше», «меньше». Дети начинают пользоваться этими приемами как способами наглядного доказательства того, какое из 2 сравниваемых чисел больше или меньше.

Вариантами являются такие задания, в которых говорится о предметах, представленных условными знаками, моделями геометрических фигур (кружками, квадратами, точками и пр.). Дети, например, угадывают, кого в трамвае было больше: мальчиков или девочек, если мальчики представлены на доске большими кружками, а девочки — маленькими. Опыт показывает, что ребенок шестого года жизни легко принимает такую абстракцию. Появляется возможность использования «промежуточных» средств — меток, моделирования отношений величин.

Детей учат получать не только «равенство из неравенства», но и, наоборот, «из равенства неравенство», причем сравнение чисел производят на основе сопоставления совокупностей, воспринимаемых как зрительно, так и на слух, на ощупь, на основе мышечного чувства. Включение в активную работу разных анализаторов служит обобщению соответствующих представлений. Даются, например, такие задания: «Поднимите руку на 1 раз больше (меньше), чем было пуговиц на карточке у Саши. Сколько раз вы подняли руку? Почему?», «Сколько вы услышали звуков? Сколько надо отсчитать треугольников, чтобы их было на 1 больше (меньше), чем вы услышали звуков?» Дети сначала сравнивают числа, а затем производят соответствующие действия. Выполнив задание, ребенок должен не только сказать, сколько положил предметов или сколько выполнил движений, но и объяснить, почему именно столько, т. е. сравнить числа.

Сравнивая числа, некоторые дети называют только одно из них: «5 больше» или «4 меньше». Добиваясь точного ответа, педагог задает наводящие вопросы, например: «С каким числом мы сравнили число 5?», «Какого числа оно больше (меньше)?» Пользуясь возможностью подчеркнуть относительность выражений «больше», «меньше», воспитатель предлагает ребенку сравнить данное число с предшествующим или последующим. Он говорит, например: «Ты сказал, что 4 меньше. А если я назову числа 3 и 4, что ты скажешь про число 4?» Дети убеждаются, что одно и то же число может быть и больше, и меньше другого в зависимости от того, с каким числом его сравнивают. Поэтому надо называть оба сравниваемых числа и указывать, какое из них больше (меньше) какого. Иначе ответ будет неточным.

Показать относительность выражений «больше», «меньше» позволяет сравнение нескольких чисел, следующих друг за другом. Наглядной основой для такого сравнения служат совокупности однородных предметов (кружков, квадратов и др.), расположенных горизонтальными рядами точно друг под другом.

Наиболее ценным приемом является построение числовой лесенки. Окрашенные с 2 сторон кружки (квадраты) синего и красного цвета раскладывают по 5 (10) шт. рядами. Количество кружков в ряду последовательно увеличивают на 1, причем «дополнительный» кружок повернут другой стороной. Числовая лесенка позволяет наглядно представить определенную конечную последовательность чисел натурального ряда.

Предлагая в каждом следующем ряду положить столько же кружков, сколько в данном, да еще 1, педагог напоминает детям способ получения последующего числа (n + 1).

Примечание. В старшей группе ограничиваются построением числовой лесенки в пределах первого пятка.

Убирая по одному кружку из каждого ряда, дети вспоминают способ получения каждого предыдущего числа (n— 1). Далее устанавливают связь между количеством кружков в ряду и его порядковым номером. Сначала числа сравнивают попарно, а потом каждое число с предыдущим и последующим. С опорой на наглядность дети ведут счет в прямом и обратном порядке.

Важно, чтобы, работая самостоятельно, они строили лесенку строго по порядку, т. е. увеличивали количество кружков каждого следующего ряда на 1.

Работу по сравнению смежных чисел сочетают с упражнениями в группировке геометрических фигур, с сопоставлением размеров предметов и др., разнообразя задания. Так у детей формируют представление об определенной последовательности чисел и подводят их к пониманию взаимно-обратных отношений между смежными числами.