Основы расчета изгибаемых элементов

Для изгибаемых  элементов  (балок),  у  которых  пролет  превышает высоту поперечного  сечения   (в  5  и  более  раз)   изменение  деформаций   по  высоте

сечения происходит по линейному закону, напряжения распределяются только до  предела  текучести  ƠT   (рис.2.1).

     Напряжения в точках, находящихся на расстоянии “y” от нейтральной оси, определяются по формуле  Ơ = М y / Ix , где - изгибающий момент в рассматриваемом  сечении  балки;    Ix -  момент  инерции  сечения.

      Максимальное напряжение возникает когда : Ơmax. = М(h/2)/Ix. Отношение момента инерции  Ix   к  расстоянию от нейтральной оси до крайней

Точки сечения    называется  моментом  сопротивления  Wx = Ix(2/h)  , тогда   Ơmax =  M/Wx..

     Для проверки прочности изгибаемых элементов, работающих в пределах упругих деформаций, необходимо, чтобы максимальные нормальные и касательные напряжения в балке от расчетной нагрузки не превосходили соответствующих  расчетных  сопротивлений.

Рис.2.1. Изменение эпюры напряжений в изгибаемом элементе при развитии

                                                 пластических деформаций в материале

                                             ;                                                  (2.10)              

                                                τ = Q S /I t≤ Rs c.                                                              

где  и  - максимальный момент и поперечная сила в балке от расчетной нагрузки;  - момент сопротивления нетто поперечного сечения балки, в случае несимметричного сечения балки выбирается  Wnmin = Ix / y max ;   - статический момент сдвигающейся части сечения относительно нейтральной оси;  I - момент инерции сечения балки; - толщина стенки.

     По второму предельному состоянию наибольший прогиб балки от нагрузки при  эксплуатации  сравнивается  с  предельной величиной указанной в нормах, либо  в  задании  на  проектирование.

     Величина прогиба зависит от расчетной схемы балки, а предельный прогиб – от назначения. Например, для главной балки рабочей площадки промздания, имеющей один пролет и шарнирные опоры, загруженной равномерно распределенной  нагрузкой,  проверка  прогиба  производится  по  формуле:

                                               5

                                   fmax = ----- (qn  l4 / E I) ≤ l / 400                                     (2.11)

                                             384

где - максимальный прогиб балки;  - нормативная нагрузка на балку;  - прогиб балки; E I- изгибная жесткость балки; 400 – норма прогиба балки.

      Формула для проверки прочности изгибаемых элементов при наличии пластических деформаций (пластический шарнир) получается из выражения (2.10)  путем замены    на  ,  т.е.

                               M / (c Wn) ≤ Ry γc   или   M / Wn ≤ cRy γc                                (2.12).

      Сравнивая это выражение с (2.10) видим, что формально учет пластических деформаций сводится к повышению расчетного сопротивления умножением на величину “c”, коэффициент, характеризующий резерв несущей способности изгибаемого элемента, обусловленный пластической работой металла, и определенный по формуле для балок двутаврового сечения, как наиболее распространенного  в  изгибаемых  элементах

                                            ,                                                      (2.13)   

где  - отношение площадей поперечного сечения пояса и стенки балки.

      Для прокатных двутавров различных типов  , чему соответствует  значение  с = 1,1 .

      Для составных двутавров (рис.2.2,в). коэффициент“c” вычисляется по формуле  (2.13).

      Для прямоугольного сечения, когда площадь  поясов балки можно приравнять   к   нулю  –  с = 1,5 (рис.2.2,б).

      Устремляя площадь стенки к нулю (рис.2.2,е) из двутавра получаем расчетные  сечения  фермы  или  балки  с  гибкой  стенкой,  тогда  с = 1.

      Наибольшим пластическим резервом будет обладать балка с поперечным сечением  (см. рис.2.2,а),   для   нее   с = 2.

      Практически выбор формы поперечного сечения изгибаемых элементов зависит от многих факторов, среди которых главным является расход металла, так  как  его  стоимость  составляет  80%  общей  стоимости  конструкции.

      Кроме нормальных напряжений Ơ в балках возникают и касательные напряжения τxy, зависящие от поперечной силы  и локальных напряжений Ơy в местах передачи на балку сосредоточенных  нагрузок. Например, для балок, загруженных  сосредоточенными  силами  по пролету (рис.2.3,а) определяющей

будет компонента Ơx. При большей сосредоточенной нагрузке на балке с малым пролетом  (рис.2.3,б)  определяющим  будет напряжение τxy.. Распределение Ơпр

            Рис.2.2. Зависимость коэффициента “c” от формы поперечного сечения

                                                          изгибаемого  элемента

по высоте балки в упругой стадии будет существенно отличаться от предыдущего случая, а при дальнейшем увеличении нагрузки вплоть до появления пластического шарнира (Ơпр = ƠT) обусловит более развитую пластическую  область  вблизи  нейтральной   оси.

      При рассмотренном многократном напряженном состоянии проверку прочности  балки  можно  производить  по  формуле:

                                                                  (2.14)

где 1,15 – коэффициент, учитывающий развитие пластических деформаций в балке .

      При  изгибе относительно двух главных осей инерции поперечного сечения

балки (x, y) –  косом изгибе -   допускается проверку прочности. производить по упрощенной  формуле

      Mx/(cxWx.n.min)+My/(cy Wy.n.min) ≤ Ry γc       при τ≤ 0.5Rs                                  (2.15)

где  и  даются в зависимости от формы сечения (см.прил.1);- зависит от величины .

Рис. 2.3. Распределение пластических  деформаций в двутавровой балке при                                               сложном   напряженном  состоянии.