Критерий согласия хи-квадрат (Пирсона)

Пусть произведено n независимых измерений некоторой величины X, рассматриваемой как случайная. Результаты измерений для удобства распределяются в порядке возрастания от наименьшего до наибольшего.

Весь диапазон измеренных значений величины Х разделяется на некоторое число разрядов (интервалов). Число этих разрядов определяется различными способами, например

где k - число разрядов;

     n - число измерений.

После определения числа разрядов ряда строится статистический ряд - таблица 1, в которой приведены длины разрядов Ii (в порядке их соответствия оси абсцисс измеряемой величины Х), количества значений величины mi, оказавшихся в том или ином разряде, а также статистические частоты P*i.

Таблица 1

Если теоретический закон нормальный, то с помощью формулы (7) определяется теоретическая вероятность в разряде (xi; xi+1):

,

где mx и sx - соответственно математическое ожидание и СКО величины Х.

Поскольку они не известны, то при расчетах заменяются статистическими значениями - средним арифметическим значением (1) и статистическим СКО Sx (3).

В качестве меры расхождения между теоретическими вероятностями и статистическими частотами критерий хи-квадрат предусматривает использование величины

Если в процессе использования критерия согласия хи-квадрат определена величина c2, то по числам c2 и r (r = k - s - число степеней свободы, где s - число независимых условий, которым должны удовлетворять статистические вероятности . Число s определяется формой теоретического закона распределения. Для симметричных законов распределения, таких как нормальный, s = 3) с помощью таблицы находится вероятность р того, что величина, имеющая распределение c2 с r степенями свободы, превзойдет данное значение c2. Вероятность р есть вероятность того что за счет чисто случайных причин мера расхождения теоретического и эмпирического распределений должна быть не меньше, чем полученная по результатам измерения.

Если серия измерений выполнена качественно, систематические погрешности исключены, то вероятность р, превышающая 0,2, может рассматриваться как не столь малая, при которой рассматриваемую гипотезу можно считать правдоподобной. И наоборот, если вероятность р велика, например, 0,95, то следует с настороженностью подойти к принятию гипотезы, если число измерений не равно 300 ... 500.