Теорема Фалеса

          Теорема. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, то они отсекут на второй прямой  равные между собой отрезки.

        Доказательство. Пусть на прямой  отложены равные отрезки АА, АА, АА, … и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую  в точках В, В,В,В,…(рис. 10). Требуется доказать, что отрезки ВВ, ВВ, ВВ,… равны друг другу. Докажем, например, что ВВ= ВВ.

          Рассмотрим сначала случай, когда прямые и  параллельны (рис. 10а). Тогда АА= ВВ и  АА= ВВ как противоположные стороны параллелограммов АВВА и АВВА. Так как АА= АА, то и ВВ=ВВ,

          Если прямые и  не параллельны, то через точку В проведем прямую , параллельную прямой (рис. 10б). Она пересечет прямые АВ и А В в некоторых точках С и D. Так как АА= АА, то по доказанному ВС=СD. Отсюда получаем ВВ= ВВ. Аналогично,  ВВ=ВВ и т.д.