Представляя собой тип формального знания, математика занимает особое место в отношении наук фактуального профиля. Она оказывается хорошо приспособленной для количественной обработки любой научной информации, независимо от ее содержания. Более того, во многих случаях математический формализм оказывается единственно возможным способом выразить физические характеристики явлений и процессов, поскольку их естественные свойства и особенно отношения непосредственно не наблюдаемы. Скажем, каким образом в физических терминах описать тяготение, эффекты электромагнетизма и т.п.? Их можно представить только математически как определенные числовые соотношения в законах, фиксируемых количественными показателями. Современная наука в лице квантовой механики и чуть ранее теория относительности лишь прибавили абстрактности теоретическим объектам, вполне лишая их наглядности. Только и остается апеллировать к математике. Заявил же однажды Л. Ландау, что современному физику вовсе не обязательно знать физику, ему достаточно знать математику.
Рассмотренное обстоятельство и выдвигает математику на роль языка науки. Пожалуй, впервые отчетливо это прозвучало у Г. Галилея, одного из решающих персонажей в создании математического естествознания, господствующего вот уже более трехсот лет. Галилей писал: "Философия написана в величественной книге (я имею в виду Вселенную), которая постоянно открыта нашему взору, но понять ее может лишь тот, который сначала научился постигать ее язык и толковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики".
На протяжении столетий математика считалась образцом точности и строгости для других областей знания. Математика с подобной точки зрения обретает значение, далеко выходящее за рамки своего непосредственного поля применения, получая тем самым философское измерение.
Логическая автономность математики не означает автономности функциональной: математика развивается не для самой себя, а в ориентации на запросы научного знания. Особенности развития математического знания могут быть в полной мере поняты только с учетом этой внешней связи. Развитие математики в Новое время, конечно, не было автономным, оно было продиктовано развитием техники, промышленности и теоретического естествознания. Развитие математического анализа, как известно, самым тесным образом связано с проблемами механики и теоретической физики в целом. Расширяющееся приложение математики к нематематическим наукам составляет суть процесса, который мы называем математизацией знания.
Общая схема математизации знания предельно проста и сводится в конечном итоге к интерпретации математической теории через понятия теории содержательной или, если идти со стороны содержания, к выявлению математических связей и отношений, отражающих определенные аспекты реальности, зафиксированные в содержательной теории. Классическим примером эффективной математизации является применение математики к проблемам механики. Это применение основано на структурном тождестве математических и содержательных законов. Мы замечаем, что если дана формула, выражающая зависимость пройденного пути от времени, то производная от этого выражения по времени будет соответствовать величине скорости движения, а вторая производная — величине ускорения. Это замечательное соответствие математических и физических понятий позволяет все понятия и связи механики записать в виде математических функций и установить между этими функциями четкие, чисто математические связи. Проблемы механики переводятся таким образом в чисто математическую плоскость, точно таким же образом, как проблемы геометрии были в свое время преобразованы Декартом в проблемы алгебры благодаря выявлению соответствия между геометрическими и алгебраическими понятиями. В процессе математизации, однако, математическая теория интерпретируется не в понятиях другой математической теории, а в понятиях теории содержательной.
Важно заметить, что процесс математизации зависит как от развития математики, так и от зрелости содержательной науки. Математизация механики не состоялась бы, если бы не была разработана в достаточной мере теория дифференциального исчисления, но, с другой стороны, она не состоялась бы без ясного определения таких понятий, как масса, ускорение, количество движения и т.д. Без этих понятий мы не сформулировали бы в ясной форме законов механики и не смогли бы выявить их собственно формальную или математическую структуру. Математика применяется к тем областям знания, которые достигли достаточно высокой степени структуризации своего объекта. Практика показывает, что далеко не все науки способны к ясной структуризации предмета, обеспечивающей использование математического метода.
Пример механики позволяет нам ввести важное понятие классической или полной математизации. Мы будем называть математизацию теории полной, если: качественные характеристики объектов теории допускают адекватную меру; все основные понятия и принципы теории поддаются выражению в математических понятиях; математическая теория позволяет осуществить достаточно точные предсказания в области действия (приложения) этой теории.
Очевидно, что классическая механика уже в XVIII в. достигла степени полной математизации. Не только исходные понятия теории, какими являются сила, масса и ускорение, определены через строгие формальные отношения к другим понятиям, но и все производные понятия выведены на основе исходных. То же самое относится и к единицам измерения. Исходные величины, а именно величины массы, длины и времени определены через общезначимые эталоны, производные же величины —- через исходные на основе теоретических связей между ними. Полная математизация имеет место также и в других физических теориях, таких, как термодинамика, электродинамика, квантовая механика и теория поля. Принципы этих теорий имеют адекватное математическое представление, все их внутренние величины определены через исходные, и эти теории обладают высокой адекватностью отражения реальности в том смысле, что они способны давать точные предсказания и описания процессов, протекающих в природе и в различного рода технических устройствах.
Для математизации научной теории принципиально важным является допустимый в ней способ измерения величин. Мы должны различать адекватные и неадекватные меры. Меру величины можно назвать адекватной, если мы убеждены, что большей величине соответствует большая мера, равным величинам — равные меры и при увеличении величины в некоторое число раз ее мера увеличивается в то же самое число раз. Адекватная мера предполагает наличие способа измерения, прежде всего, единиц измерения, зафиксированных в виде устойчивых эталонов. Все физические величины обладают в этом смысле адекватной мерой, поскольку они выражаются в конечном итоге через меры длины, массы и времени, которые фиксируются с предельной определенностью. Математическая гипотеза родственна математическому предвосхищению, так как в том и другом случае речь идет об активной и опережающей роли математики в развитии содержательной теории. Но тут есть и существенное различие: говоря о математическом предвосхищении, мы фиксируем некоторого рода исторически реализующуюся тенденцию, способность математики готовить форму для новых физических теорий, в то время как в случае с математической гипотезой мы говорим о сознательном использовании этой особенности развития математики, т.е. о некотором методе, основанном на этом свойстве математической теории. Можно сказать, что математическая гипотеза является методологической реализацией, предвосхищающей способности математического мышления.
Современная математизация знания в методологическом плане представляет собой сложное, противоречивое и во многих отношениях еще не вполне понятое явление. Мы ясно видим, что, хотя усложнение объекта исследования создает почти непреодолимые затруднения для математического представления теории, спрос на математику со стороны науки, в том числе и наук за пределами физики, постоянно растет. Вопрос о перспективах математизации знания, таким образом, остается открытым. Для понимания этих перспектив необходимо иметь более определенные знания об условиях применения математики к таким объектам, как объекты биологии, психологии и социальной науки. Достаточно полной методологической теории, отвечающей на эти вопросы, мы пока не имеем.
Поможем написать любую работу на аналогичную тему