Виды распределения результатов наблюдения и случайных погрешностей - Лекции по дисциплине метрология

Случайная погрешность измерения образуется под влиянием большого числа факторов, сопутствующих процессу измерения. В каждой конкретной ситуации работает свой механизм образования погрешности. Поэтому естественно предположить, что каждой ситуации должен соответствовать свой тип распределения погрешности. Однако во многих случаях имеются возможности еще до проведения измерений сделать некоторые предположения о форме функции распределения, так что после проведения измерений остается только определить значения некоторых параметров, входящих в выражение для предполагаемой функции распределения.

Случайная погрешность характеризует неопределенность наших знаний об истинном значении измеряемой величины, полученных в результате проведенных наблюдений. Согласно К. Шеннону мерой неопределенности ситуации, описываемой случайной величиной X, является энтропия:

,                             (11)

являющаяся функционалом дифференциальной функции распределения . Можно предположить, что любой процесс измерения формируется таким образом, что неопределенность результата наблюдений оказывается наибольшей в некоторых пределах, определяемых допускаемыми значениями погрешности. Поэтому наиболее вероятными должны быть такие распределения , при которых энтропия обращается в максимум.

Для выявления вида наиболее вероятных распределений рассмотрим несколько наиболее типичных случаев.

1. В классе распределений результатов наблюдений , обладающих определенной зоной рассеивания между значениями х = b и х = а шириной b-а=2а, найдем такое, которое обращает в максимум энтропию при наличии ограничивающих условий:   

где - математическое ожидание результатов наблюдений. Решение поставленной задачи находится методом множителей Лагранжа.

Искомая плотность распределения результатов наблюдений описывается выражением

Такое распределение результатов наблюдений называется равномерным.

Значения дифференциальной функции распределения равномерной распределенной случайной погрешности постоянны в интервале , а вне этого интервала равны нулю (см рис.2).

Рис. 2

Поэтому выражение для дифференциальной функции распределения случайной погрешности можно записать в виде

Определим числовые характеристики равномерного распределения. Математическое ожидание случайной погрешности находим по формуле:

│   (12)

Дисперсию случайной равномерно распределенной погрешности можно найти по формуле:

            (13)

В силу симметрии распределения относительно математического ожидания коэффициент асимметрии должен равняться нулю

                        (14)

Для определения эксцесса найдем вначале четвертый момент случайной погрешности:

                        (15)

поэтому

В заключение найдем вероятность попадания случайной погрешности в заданный интервал , равный заштрихованной площади на рисунке.

В классе распределений результатов наблюдений , обладающих определенной дисперсией , найдем такое, которое обращает в максимум энтропию при наличии ограничений:

Решение этой задачи также находится методом множителей Лагранжа. Искомая плотность распределения результатов наблюдений описывается выражением

                                  (16)

где - математическое ожидание и - среднеквадратическое отклонение результатов наблюдений.

Учитывая, что при полном исключении систематических погрешностей и , для дифференциальной функции распределения случайной погрешности можно записать уравнение

                                   (17)

Распределение, описываемое этими уравнениями, называется нормальным или распределением Гаусса.

На рисунке изображены кривые нормального распределения случайных погрешностей для различных значений среднеквадратического отклонения .

Из рисунка видно, что по мере увеличения среднеквадратического отклонения распределение все более и более расплывается, вероятность появления больших значений погрешностей возрастает, а вероятность меньших погрешностей сокращается, т.е. увеличивается рассеивание результатов наблюдений.

Продолжение Л.4

Вычислим вероятность попадания результата наблюдения в некоторый заданный интервал :

Заменим переменные:

после чего получим следующее выражение для искомой вероятности:

Интегралы, стоящие в квадратных скобках, не выражаются в элементарных функциях, поэтому их вычисляют с помощью так называемого нормированного нормального распределения с дифференциальной функцией

Далее приведены значения дифференциальной функции нормированного нормального распределения, а также интегральной функции этого распределения, определяемой как

С помощью функции Ф(z) вероятность находят как

При использовании данной формулы следует иметь в виду тождество

вытекающее непосредственно из определения функции Ф(z).

Широкое распространение нормального распределения погрешностей в практике измерений объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей, являющейся одной из самых замечательных математических теорем, в разработке которой принимали участие многие крупнейшие математики - Муавр, Лаплас, Гаусс, Чебышев и Ляпунов. Центральная предельная теорема утверждает, что распределение случайных погрешностей будет близко в нормальному всякий раз, когда результаты наблюдения формируются под влиянием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.

Предположим, что результаты наблюдений распределены нормально, но их среднеквадратическое отклонение является величиной случайной, изменяющейся от опыта к опыту. Такое предположение более осторожное, чем предположение о неизменности в течение всего времени измерений. В этом случае, рассуждая таким же образом, как и прежде, легко найти, что энтропия обращается в максимум, если результаты наблюдений имеют распределение Лапласа с плотностью

                                    (18)

где - математическое ожидание, - среднеквадратическое отклонение результатов наблюдения.

Распределением Лапласа следует пользоваться в тех случаях, когда точностные характеристики заранее неизвестны или нестабильны во времени.

Дифференциальная функция распределения случайных погрешностей получается подстановкой и в предыдущее выражение:

Асимметрия распределения равна нулю, поскольку распределение симметрично относительно нуля, а эксцесс составляет:

   (19)

Таким образом, по сравнению с нормальным распределением (Ех = 0) равномерное распределение является более плосковершинным (Ех = -1.2), а распределение Лапласа - более островершинным (Ех=3).

Оценка с помощью интервалов

Смысл оценки параметров с помощью интервалов заключается в нахождении интервалов, называемых доверительными, между границами которых с определенными вероятностями (доверительными) находятся истинные значения оцениваемых параметров.

Вначале остановимся на определении доверительного интервала для среднего арифметического значения измеряемой величины. Предположим, что распределение результатов наблюдений нормально и известна дисперсия . Найдем вероятность попадания результата наблюдений в интервал . Согласно формуле:

Но

и, если систематические погрешности исключены ,

Это означает, что истинное значение Q измеряемой величины с доверительной вероятностью  находится между границами доверительного интервала .

Половина длины доверительного интервала называется доверительной границей случайного отклонения результатов наблюдений, соответствующей доверительной вероятности Р. Для определения доверительной границы (при выполнении перечисленных условий) задаются доверительной вероятностью, например Р=0.95 или Р=0.995 и по формулам

определяют соответствующее значение интегральной функции нормированного нормального распределения. Затем по данным находят значение коэффициента и вычисляют доверительное отклонение . Проведение многократных наблюдений позволяет значительно сократить доверительный интервал. Действительно, если результаты наблюдений  (i=l, 2,..., n) распределены нормально, то нормально распределены и величины , а значит, и среднее арифметическое , являющееся их суммой. Поэтому имеет место равенство.

где определяется по заданной доверительной вероятности Р.

Полученный доверительный интервал, построенный с помощью среднего арифметического результатов n независимых повторных наблюдений, в раз короче интервала, вычисленного по результату одного наблюдения, хотя доверительная вероятность для них одинакова. Это говорит о том, что сходимость измерений растет пропорционально корню квадратному из числа наблюдений.

Половина длины нового доверительного интервала

                                         (20)

называется доверительной границей погрешности результата измерений, а итог измерений записывается в виде

Теперь рассмотрим случай, когда распределение результатов наблюдений нормально, но их дисперсия неизвестна. В этих условиях пользуются отношением

                                  (21)

называемым дробью Стьюдента. Входящие в нее величины  и вычисляют на основании опытных данных; они представляют собой точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений.

Плотность распределения этой дроби, впервые предсказанного Госсетом, писавшим под псевдонимом Стьюдент, выражается следующим уравнением:

                               (21)

где S(t, k) - плотность распределения Стьюдента. Величина k называется числом степеней свободы и равна n - 1. Вероятность того, что дробь Стьюдента в результате выполненных наблюдений примет некоторое значение в интервале , согласно выражению (21), вычисляется по формуле

или, поскольку S(t, k) является четной функцией аргумента t,

Подставив вместо дроби Стьюдента t ее выражение через  и , получим окончательно

                  (22)

Величины  вычисленные по формулам (21) и (22), были табулированы Фишером для различных значений доверительной вероятности Р в пределах 0.10 - 0.99 при k=n-1,2,…,30. приведены значения для наиболее часто употребляемых доверительных вероятностей Р.

Таким образом, с помощью распределения Стьюдента по формуле (22) может быть найдена вероятность того, что отклонение среднего арифметического от истинного значения измеряемой величины не превышает , например и т.д. Итог измерений записывается в виде

ПРИМЕР

При измерении ЭДС нормального элемента полечены следующие результаты:

Приняв доверительную вероятность р=0,99, определить результат, оценить случайную и относительную погрешности.

Для решения данной задачи предлагается следующая методика:

1.                определяется неисправленный результат измерения

2.                определяется относительная погрешность неисправленного результата измерений

3.                вычисляем СКО погрешности неисправленного результата

4.                исключаем явные промахи (аномальные результаты). Они не должны удовлетворять условию:

После исключения промахов (допустим, что их количество получилось r ) определяем те же величины для исправленного результата измерений.

Математическое ожидание:

Относительная погрешность:

СКО результата:

Вычисляем результат измерений, как:

,

где tp - коэффициент Стьюдента.

Некоторые значения коэффициентов Стьюдента приведены в таблице:

Таблица 1

По приведенной методике определяем математическое ожидание неисправленного результата:

m’=12.221531/12=1.0184609.

Определяем относительную погрешность неисправленного результата i`:

Определяем СКО неисправленного результата:

s(')=1,865*10-5.

Определяем границы, в которых находится результат измерения (выявляем явные промахи):

m’-m’*3s(')=1.0184039

m’+m’*3s(')=1.0185179.

По результатам измерений делаем вывод, что измерение № 7 является явным промахом и должно быть исключено из вычислений.

Определяем математическое ожидание исправленного результата:

m=1.0184553.

Определяем относительную погрешность исправленного результата di:

Определяем СКО исправленного результата:

s(δ`)=1,837*10-6.

Определяем результат измерения:

Х=1.837±5.7*10-8,  при доверительной вероятности р=0.99.