Если многократные наблюдения проводятся в течение длительного периода времени, необходимо учитывать, что изменение параметров средств измерений и внешней среды может вызвать систематические или случайные изменения математических ожиданий и с.к.о. результатов наблюдений. Для того чтобы эти измерения не ускользнули от внимания оператора, измерения производятся часто в несколько серий, причем перед каждой серией измерений иногда заново настраивают измерительную аппаратуру и принимают меры к стабилизации параметров внешней среды.
В этом случае получаем m групп по nj (j =1,…, m) результатов наблюдений в каждой. Группы наблюдений будут равнорассеянными, если средние арифметические 
и оценки с.к.о. 
во всех группах являются оценками одного и того истинного значения измеряемой величины и одного и того же с.к.о.
Равнорассеянность групп наблюдений проверяется методами математической статистики, известными под общим названием дисперсионного анализа.
Предположим, что все N результатов наблюдений равнорассеяны. Тогда 
и 
, где xij – i-й результат наблюдения в j-й группе.
Вычислим групповые средние арифметические и общее среднее 
: 
j=1,…m, 
.
Очевидно, что для каждого xij имеет место тождество 
Возведем в квадрат обе его части и просуммируем их по всем i и j:
Но сумма 
по определению для всех j. Поэтому 
т.е. сумма квадратов отклонений результатов наблюдений от общего среднего равна сумме квадратов отклонений групповых средних от общего среднего и сумме квадратов отклонений результатов наблюдений от групповых средних.
Можно получить следующие оценки с.к.о. результатов наблюдений:
; 
; 
; 
, 
,
где 
- с.к.о., характеризующее общее рассеивание в ряде наблюдений;
- с.к.о., характеризующее рассеивание между групповыми средними;
- с.к.о., характеризующее рассеивание внутри каждой j-й группы;
- с.к.о., характеризующее среднее рассеивание внутри групп.
Для проверки гипотезы о равнорассеянности наблюдений используется распределение, которое получается следующим образом: если U и V - две независимые случайные величины, подчиняющиеся 
- распределению с k1 и k2 степенями свободы соответственно, то их отношение 
имеет F-распределение Фишера с k1 и k2 степенями свободы.
F–распределению Фишера подчиняется распределение отношения двух независимых оценок дисперсии 
и 
, вычисленных на основании n1
и n2 нормально распределенных результатов наблюдений, т.е. отношение 
имеет F–распределение с (n1-1), (n2-1) степенями свободы.
Если при выбранном уровне значимости q окажется, что 
где 
, то говорят, что различие оценок незначимо, и они являются двумя независимыми оценками одной и той же дисперсии. В противном случае приходится признать это различие существенным, имеющим более глубокие причины, нежели просто расхождения, вызванные ограниченностью опытных данных.
Гипотезу о равнорассеянности групп результатов наблюдений проверяют в два этапа.
1 Вначале проверяется гипотеза о равенстве дисперсий 
во всех m группах наблюдений. Для этого их располагают в вариационный ряд в порядки возрастания 
,…,
- и проверяют значимость отношения 
. Если это отношение незначимо, то незначимы и все остальные. Тогда следует принять иследуемую гипотезу как правдоподобную и считать, что рассеяние результатов наблюдений относительно средних во всех группах одинаково. В противном случае приходится признать распределения в группах с дисперсиями 
и отличными друг от друга и проверить значимость отношений всех других дисперсий.
2 При равенстве дисперсий в группах проверяется гипотеза о равенстве математических ожиданий во всех группах наблюдений. Если эта гипотеза верна , то 
и 
являются независимыми точечными оценками одной и той же дисперсии и их отношение должно подчиняться F–распределению с m-1 и N-m степенями свободы. Если расхождение этих оценок значимо при выбранном уровне значимости, что при проведении измерений имеют место случайные или систематические сдвиги результатов наблюдений, вследствие чего расхождения между средними оказались больше тех, которые могут быть оправданы ограниченностью опытных данных.
При небольшом количестве групп наблюдений можно для всех комбинаций серии измерений (обозначим их индексы через c и d) вычислить величины tc-d и
использовать их для проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий: 
.
Можно показать, что если результаты измерений распределены нормально, то tc-d имеет распределение Стьюдента с nc+nd -2 степенями свободы.
Задаваясь определенной доверительной вероятностью Р, по таблице Ж.1 можно найти соответствующее значение tp, и если 
, то гипотеза о равенстве математических ожиданий принимается. Распределением Стьюдента пользуются и в том случае, если проверка равенства дисперсии в группах дала отрицательные результаты.
Если проведенные вычисления показали, что оценки дисперсии и средних групп наблюдений незначимо отличаются друг от друга, то группы наблюдений считаются равнорассеянными. Их можно объединить в один ряд и обрабатывать по правилам, описанным в предыдущем параграфе.
Значимое различие групповых средних говорит о том, что на формирование результата измерений большое влияние оказывает какой-то определенный фактор или группа факторов и совместная обработка результатов невозможна.
В том случае, когда значимо различие дисперсий , а средние групп являются оценками одного и того же истинного значения измеряемой величины, группы результатов называются неравнорассеянными (неравноточными).
Поможем написать любую работу на аналогичную тему