Нужна помощь в написании работы?

Память о великих ученых заключена в их трудах,  которые они оставили на благо человечества.  На одном из центральных кладбищ Вены на могиле Больцмана, в память о нем, выгравирована в качестве эпитафии одна из выдающихся физических формул, описывающая один из важнейших законов, позволяющих перейти от качественного анализа рассеяния энергии к количественному:

S=k*lnW,

Где: S - энтропия системы; k - (фундаментальная мировая) постоянная Больцмана (условно примем ее равной единице); W - мера неупорядоченности системы. Формула Больцмана значит для современного мира не меньше, чем формула Эйнштейна:

Е=m*С2.

Формула Больцмана связывает энтропию с хаосом.  В левой части равенства стоит энтропия, характеризующая любые самопроизвольные изменения. В правой части равенства стоит величина, связанная с хаосом и служащая мерой рассеяния энергии во Вселенной. Понятие рассеяния или деградации энергии,  составляет основу изменений на микроскопическом уровне.  Понятие энтропии (S) принадлежит классической термодинамике, а величина W непосредственно относится к миру атомов - миру, определяющему " скрытый" механизм происходящих изменений. Формула Больцмана соединяет мир доступных нашему восприятию событий и мир атомов.

До Больцмана были известны различие между теплотой и работой, представления о внутренней хаотичности теплового движения, понятие деградации и рассеяния энергии. Больцман превратил это интуитивное понимание в инструмент познания и показал, каким образом следует извлекать числа из хаоса.

Наша цель - количественное описание хаоса. Естественные, самопроизвольно происходящие процессы - это переход от порядка к хаосу. В строго количественном смысле подобные явления вызываются стремлением системы к хаосу и разложению.

Начнем с вопросов: Каким образом можно описать хаос, т.е. степень неупорядоченности? В чем смысл величины W?

Представим себе, что существуют две неких системы, назовем их система 1 и система 2. Рассмотрим их начальное состояние и последующие развитие.

Допустим в системе 1 все атомы возбуждены, а в системе 2 нет ни одного возбужденного атома.

Поставим теперь следующий вопрос: сколькими способами можно произвести перестройки внутри системы, чтобы внешне это произошло незаметно?

Ответ на этот вопрос и дает величина W.  Отметим,  что в формулировке вопроса учтено то существенное, что характеризует переход от мира атомов к макроскопической системе, а именно "слепота" внешнего наблюдателя по отношению к "индивидуальностям" атомов, образующих систему.

Термодинамика имеет дело только с усредненным поведением огромных совокупностей атомов, причем поведение каждого отдельного атома не играет роли.

В нашей модельной системе беспрестанно переносится возбуждение с одного атома на другой;  это отражение хаоса, царящего во Вселенной. Суть происходящего в абсолютно случайном перераспределении свойств возбуждения между атомами системы, т.е. в непрекращающемся переносе этого свойства.

Полное число возбужденных атомов в системе не меняется, т. к. возбуждение переносится с одного атома на другой. Величина W есть ни что иное, как число различных распределений возбужденных атомов.

Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

Визуально мы не в состоянии уловить, что изменения вообще произошли. Однако, если привести в возбужденное состояние один атом в системе 2 за счет переноса этого свойства с одного из атомов в системе 1, то мы узнаем об этом, поскольку температура системы 1 упадет, а системы 2 повысится.

В том особом начальном состоянии системы,  которое мы рассматриваем, все атомы системы 1 находятся в возбужденном состоянии и, следовательно, возбуждение уже не может переноситься внутри этой системы. Поскольку существует только одно возможное расположение атомов, при котором все атомы системы 1 возбуждены, то мы считаем, что W=1 (в силу квантовой неразличимости атомов). Поскольку логарифм единицы равен нулю, то согласно формуле Больцмана, энтропия системы 1 равна нулю. Следовательно, такой локализованный "сгусток" энергии обладает нулевой энтропией.

Рассмотрим случай,  когда станет возможным перенос возбуждения с одного какого-либо атома системы 1 на какой-либо из атомов системы 2.  Далее возбуждение может переходить по атомам системы 1 многими различными способами, но внешний наблюдатель ничего этого не заметит.  Нетрудно подсчитать новое значение величины W:  оно равняется числу различных способов выбора одного невозбужденного атома в системе 1. Действительно, в системе 1 в общей сложности 100 атомов, из которых какие-то 99 возбуждены, это совершенно произвольно. Но это, очевидно, означает, что положение единственного невозбужденного атома в системе 1 может быть выбрано ровно 100 способами. Тогда W=100, т.е. такое состояние системы может быть осуществлено ста способами. Поскольку натуральный логарифм ln 100=4,61, из формулы Больцмана (учитывая, что K=1) получим, что энтропия этого состояния равна 4,61. Энтропия системы 1, очевидно, возросла; система стала более хаотичной, так как мы не знаем, где именно находится единственный невозбужденный атом.

Если состояние  возбуждения  (и соответствующая ему энергия) перейдет еще с одного атома системы 1 на какой-либо атом системы 2,  то среди атомов системы 1 (напомним,  что все они были возбуждены в начальном состоянии) имеется уже два "пустых места", т.е.  невозбужденных атома.  Число способов, которыми можно разместить состояния возбуждения по 98 атомов в системе 1, совпадает с числом способов размещения двух имеющихся теперь в системе 1 невозбужденных атомов. Один из невозбужденных атомов может занимать любое из 100 положений,  тогда как второй может занять при этом любое из оставшихся 99 положений.  Таким образом,  полное число размещений составит 100х 99=9900. Необходимо, однако, учесть, что некоторые размещения тождественны друг другу (в силу уже упоминавшейся квантовой неразличимости атомов.). Например, сначала невозбужденным может стать атом номер 32, а затем номер 23, но это может произойти и в обратном порядке. Конечный результат в обоих случаях один и тот же: оба атома - 23 и 32 - будут невозбужденными. Следовательно, полученное выше значение числа способов следует разделить пополам, так как лишь половина из 9900 размещений отличается друг от друга. Это означает, что W=4950, и существует 4950 возможностей различными способами перестроить систему 1. Используя формулу Больцмана, найдем, что энтропия системы 1 возросла до величины ln=8,51.

Не следует забывать, что энтропия системы 2 также возрастает. Первоначально она была равна нулю, так как в системе 2 вообще не было возбужденных атомов и существовало их единственное расположение в системе 1. Затем после переноса одного возбужденного состояния из системы 1 в систему 2,  один атом в системе 2 стал возбужденным. При этом в системе 2 существует 1500 возможностей выбора положения возбужденного атома, так что число неразличимых (и потому ненаблюдаемых) способов достижения этого термодинамического состояния системы 2 равно 1500;  следовательно, ее энтропия равна ln 1500=7,31. Если же в системе 2 необходимо разместить два состояния, то одно из них может принадлежать любому из 1500 атомов, другое - любому из оставшихся 1499 атомов. И вновь следует исключить дважды учтенные одинаковые расположения, так что в итоге полное число различных расположений равно половине от произведения 1500 на 1499, т.е. равно 1 124 250. Это и есть число различных способов достижения указанного термодинамического состояния системы 2. Энтропия этого состояния равна логарифму от этого числа, ln 1 124 250= 13,93.

Отметим, что энтропия системы 2 возрастает гораздо быстрее,  чем энтропия системы 1. Это связано с тем, что система 2 больше системы 1 и одно возбужденное состояние может быть распределено по большому числу положений, чем в системе 1. Чем больше атомов которые можно возбудить, тем более широкие возможности для перестановок.

Расчет числа различных расположений атомов можно было бы продолжить,  определяя соответствующие значения энтропии.  Число размещений получается очень большим, но особенность логарифмов состоит в том, что большие числа превращаются в малые: логарифм - очень "медленная" функция. (Например, натуральный логарифм от 100 равен 4,61; натуральный логарифм от числа Авогадро равен всего 54,7 хотя это число превышает 1023). Таким образом, хотя число размещений может достигать астрономических значений, соответствующие величины энтропии остаются вполне " земными".

Изменения энтропии каждой из систем 1 и 2 и всей Вселенной (т.е.  их суммы) можно изобразить графически.  Энтропия системы 1 сначала возрастает, так как по мере появления "пустых мест" появляется все больше свободы для размещения возбужденных атомов. Но как только половина атомов системы 1 станет невозбужденной,  так будет ощущаться недостаток в возбужденных атомах и энтропия начнет падать. После того, как все возбужденные атомы системы 1 лишатся возбуждения энтропия вновь, как и в начальном состоянии, станет равной нулю.

Энтропия системы 2 меняется совсем по-иному; хотя система и получает энергию, но последней недостаточно для того, чтобы привести в возбужденное состояние половину атомов системы (максимальное число возможных возбуждений в системе 2 составляет в рассматриваемом случае всего 100), ибо полное число атомов в этой системе равно 1500. Поэтому энтропия системы 2 только повышается, а энтропия Вселенной как целого проходит через максимум.

Максимум энтропии Вселенной достигается тогда, когда отношение числа возбужденных атомов к числу невозбужденных в системе 1 равно аналогичному отношению в системе 2, т.е. когда температуры обеих систем равны. Но именно этого мы и ожидали от энтропии. Мы интуитивно чувствовали,  что при описанных изменениях энергия должна рассеиваться, а , как известно, этому рассеянию энергии должно соответствовать увеличение энтропии Вселенной. Теперь мы убедились в том, что формула Больцмана органично соединяет оба процесса, а именно: утверждение,  что энергия стремиться рассеиваться, эквивалентно утверждению, что энтропия стремиться увеличиваться. 

Естественное направление потока энергии, совпадает с направлением градиента температур. Предположим, что начальное состояние Вселенной таково, что в системе 1 имеется всего лишь 1 возбужденный атом, тогда как 99 возбужденных атомов находятся в системе 2 тогда, как мы выяснили ранее, температура системы 1 ниже температуры системы 2. Интуитивно нетрудно понять, что произойдет со Вселенной дальше: энергия системы 2 станет переходить в систему 1 до тех пор, пока не будет достигнута однородное распределение энергии всей доступной Вселенной. Это состояние соответствует тому, что каждый из 1600 атомов Вселенной может с равной вероятностью находиться в возбужденном состоянии. Поскольку общее число возбужденных атомов равно 100, можно предсказать, что в равновесном состоянии вероятность нахождения любого из атомов в возбужденном состоянии равна 100/1600 (или 0,0625),  независимо от того, принадлежит атом системе 1 или системе 2. Поскольку в системе 1 - 100 атомов, то в равновесном состоянии в ней должны находиться 100*0,0625=6,25 возбужденных атомов. Однако число возбужденных атомов должно быть целым, так как атом может быть либо полностью возбужденным, либо полностью невозбужденным; поэтому число возбужденных атомов в системе 1 может колебаться около значений 6 и 7. Для простоты будем полагать его равным 6 (а иногда 7). Остальные 94 (или 93) возбужденных атома находятся в системе 2.

В случае когда 6( или 7) возбужденных атомов принадлежат системе 1,  ее температура ( в безразмерных единицах) равна 0,36 (или 0,39). Когда 94 возбужденных атома находятся в системе 2, ее температура составляет 0,37. и в том случае, когда в ней находятся 93 возбужденных атома,  поскольку чем больше система, тем в меньшей степени ее температура зависит от количества возбужденных атомов в ней ). Температуры систем 1 и 2 практически равны ( различие возникает из-за того, что мы округлили 6,25 до 6 или до 7). Температуры не только совпадают, но соответствуют максимуму энтропии Вселенной. Именно этот вывод следует из всего предшествующего обсуждения:  охлаждение системы до теплового равновесия соответствует возрастанию ее энтропии до максимального значения. 

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость
Поделись с друзьями