Потери напора по длине

При установившемся движении реальной жидкости основные параметры потока: величина средней скорости в живом сечении (v) и величина перепада давлениязависят от физических свойств, движущейся жидкости и от размеров пространства, в котором жидкость движется. В целом, физические свойства жидкости определяются через размерные величины, называемые физическими параметрами жидкости.

Можно установить взаимосвязь между всеми параметрами, от которых зависит движение жидкости. Условно эту зависимость можно записать как некоторую функцию в неявном виде.

где:               - линейные величины, характеризующие трёхмерное

пространство,

 -  линейная величина, характеризующая состояние стенок канала (шероховатость), величина выступов,

 -  средняя скорость движения жидкости в живом сечении потока,

 - разность давления между начальным и конечном живыми сечениями потока (перепад давления),

 - удельный вес жидкости,

- плотность жидкости,

- динамический коэффициент вязкости жидкости,

 - поверхностное натяжение жидкости, К - модуль упругости жидкости.

Для установления зависимости воспользуемся выводами так называемой-теоремы. Суть её заключается в том, что написанную выше зависимость, выраженную в неявном виде, можно представить в виде взаимозависимых безразмерных комплексов. Выберем

три основных параметра с независимыми размерностями, остальные парамет-

ры выразим через размерности основных параметров.

Эта операция выполняется следующим образом: пусть имеется некоторый параметр i, выразим его размерность через размерности основных параметров; это будет означать:

 ?

т.е. размерности левой и правой частей равенства должны быть одинаковыми. Тогда можно записать:

Полученные в результате такой операции безразмерные параметры будут называться пи-членами. Эти безразмерные комплексы имеют глубокий физический смысл, они представляют собой критерии подобия различных сил, действующих в тех или иных процессах.

Проделаем такую операцию с некоторыми из параметров.

Параметр А.

 i

Теперь запишем показательные уравнения по размерностям последовательно в следующем порядке: L (длина), М (масса), и Т (время):

Из этой системы уравнений:      Таким образом, безразмерным

комплексом по этому параметру может быть: Параметр у.

 >*   ' откуда получим:

и найдём:     . Таким образом, безразмерным комплексом по

этому параметру может быть:  . Эта безразмерная величина называется

числом Фруда, Fr. Параметр /и.

и найдём:

Полученный безразмерный комплекс называется числом Рейнольдса, Re. Выполняя аналогичные операции с остальными параметрами можно найти:

 число Эйлера, число Вебера, We.

 число Коши, Са. В итоге получим как результат:

Поскольку, в большинстве случаев силами поверхностного натяжения можно пренебречь, а жидкость считать несжимаемой средой, можно упростить запись предыдущего выражения, решив последнее уравнение относительно Ей:

Считая канал круглой цилиндрической трубой, и принимая, получим:

Множитель был вынесен за скобки ввиду того, что потери напора по длине пропорциональны длине канала конечных размеров. Далее учитывая, что:, получим:

Обозначим:   Эту величину принято называть коэффициен-

том сопротивления трения по длине или коэффициентом Дарси. Окончательно для круглых труб, учитывая, что:

Эта формула носит название формулы Дарси-Вейсбаха и является одной из основных формул гидродинамики.

Коэффициент потерь напора по длине будет равен:

Запишем формулу Дарси-Вейсбаха в виде:

Величину называют гидравлическим уклоном, а величинуназывают коэффициентом Шези.

Величина  имеет размерность скорости и носит название динамической скорости жидкости.

Тогда коэффициент трения (коэффициент Дарси):