Нужна помощь в написании работы?

Закон Кулона  : сила электростатического взаимодействия между двумя заряженными сферами (шарами) прямо пропорциональна величинам их зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами. В общем случае кулоновская сила – это двойной векторный интеграл, который можно взять только в некоторых простейших случаях.

  (·)

Кулоновская (электростатическая) сила. В таком виде закон Кулона применим только для двух точечных зарядов, сфер (шаров), r – расстояние между центрами сфер (шаров).

векторная форма, знак силы (±) зависит от выбора направления радиус-вектора

 называется «коэффициент в СИ в законе Кулона»,

eо » 8,85×10-12 (Кл2/Н.м2) – электрическая постоянная

Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

   В качестве примера вычисления кулоновского взаимодействия заряженных тел рассмотрим силу, с которой действует тонкий стержень длиной L, заряженный с линейной плотностью заряда t (Кл/м) , на точечный заряд qо, находящийся на расстоянии а от конца стержня. (см. рис.). (Полем на концах стержня пренебрегаем)

выделим в стержне элементарный

заряд dq,

сила взаимодействия между зарядом qо и элементарным зарядом dq стержня

сила взаимодействия между стержнем и точечным зарядом

     Заряды, сообщаемые телам, распределяются неравномерно. В металлах заряды распределяются всегда по поверхности; в тех местах, где кривизна поверхности большая, там больше скапливается зарядов (см. дальше). Для характеристики распределения зарядов используются:

(Кл/м)

линейная плотность заряда - эта заряд, приходящийся на единицу длины заряженного тела.

 (Кл/м2)

поверхностная плотность заряда – это заряд, приходящийся на единицу площади поверхности заряженного тела

 (Кл/м3)

объемная плотность заряда – это заряд, приходящийся на единицу объема заряженного тела

     Электростатика изучает электрические поля, создаваемые заряженными телами, в которых распределение зарядов не меняется с течением времени. В электростатике используется модель – точечный заряд – это заряженное тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с другими размерами в данной задаче. Кроме того, вводится понятие – пробный заряд – это заряд, вносимый в поле другого заряженного тела, и при этом не влияющий на это поле. Это можно перефразировать (не очень научно) так: один заряд создает поле, а другой в этом поле находится и не влияет на поле. Именно такой подход используется при решении большинства задач.

     Вокруг заряженных тел существует электрическое поле, которое характеризуют напряженностью  Е и потенциалом j (см. ниже).

(Н/Кл=В/м)

напряженность (вектор) – силовая характеристика электрического поля, по смыслу – это сила, действующая на единичный положительный пробный заряд в данной точке поля.

Используя закон Кулона, можно найти напряженность поля точечного заряда; q заряд, создающий поле, qo - пробный заряд, вносимый в это поле.

Работа по переносу заряда в электростатическом поле.

Сила, действующая на заряд в электрическом поле. Это выражение может быть использовано всегда, тогда как формула (·) применима только для точечных зарядов, сфер и шаров.

     Пусть точечный заряд q переносится в поле, создаваемом другим точечным зарядом . Найдем работу, необходимую для переноса q из положения с радиус-вектором r1 в положение с радиус-вектором r2. (см. рис.).

полная работа по переносу заряда q в электрическом поле, a - угол между вектором Е и вектором перемещения dl

Сведем подынтегральное выражение к одной переменной r, используя выражение для напряженности поля заряда и связь между перемещением dl и приращением радиус-вектора dr. Интегрируя, найдем выражение для работы.

Из этой формулы следует очень важный вывод: работа в электростатическом поле не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положением переносимого заряда.

Работа в электростатическом поле по замкнутому пути равна нулю

     Из механики известно, что силовое поле, работа в котором определяется только начальным и конечным положениями тела, называется консервативным. Следовательно, электростатическое поле является консервативным или чаще говорят, потенциальным Линейный интеграл по замкнутому контуру L называется циркуляцией. Отсюда следует:

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля равна нулю.  Это является условием потенциальности поля.

     Работа консервативных (потенциальных) сил равна убыли потенциальной энергии тела. Следовательно, можно ввести еще одну характеристику электростатического поля – потенциал j.

(В = Дж/Кл)

потенциал (скаляр) – энергетическая характеристика электростатического  поля - по смыслу это: 1) потенциальная энергия, которой обладает единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля или 2) работа, которую надо совершить, чтобы перенести единичный положительный заряд из данной точки 1 в бесконечность (¥).

разность потенциалов – это работа, которую надо совершить, чтобы переместить единичный положительный заряд из точки 1 в точку 2

     Найдем связь между напряженностью и потенциалом.

работа в потенциальном (консервативном) поле равна убыли потенциальной энергии

 dx , - перемещение

выразим элементарную работу через напряженность и разность потенциалов; сократим на q, обозначим проекцию вектора Е на направление х как Ех, получим:

 (··)

связь между Е и j  в дифференциальной форме для одномерного случая, когда потенциал зависит только от координаты  х - j (х)

В трехмерном случае, когда потенциал является функцией j (х,y,z), запишем формулы для каждой проекции и, объединяя их в одно выражение, найдем (учитывая, что  Е - вектор):

Ñ («набла») - другое обозначение градиента  (модуль вектора Е)

Напряженность электростатического поля равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком.

Градиент – это вектор, показывающий направление наибольшего роста скалярной функции (в нашем случае - потенциала). В одномерном случае градиент напряженности dj / dx приобретает простой физический смысл: он показывает, на сколько изменяется потенциал на единице длины.

«-» в правой части формул означает, что вектор напряженности Е всегда направлен в сторону убывания потенциала.

     Из приведенных выражений, зная j (х,y,z), можно, дифференцируя, найти напряженность поля. Производя обратную операцию – интегрирование, можно при известной напряженности найти потенциал. Рассмотрим случай зависимости

Е и j только от одной переменной х. Из формулы (··) находим:

   (···)

Связь разности потенциалов с напряженностью в интегральной форме для одномерного случая, когда Е(х)

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость
Поделись с друзьями