Расчет полей с помощью закона Кулона

1) Поле заряженной нити

Рассмотрим равномерно заряженную с линейной плотностью  нить. Представим нить как последовательность элементарных зарядов , тогда каждый заряд создает в точке на расстоянии r от него поле, напряженность которого определяется выражением .

Напряженность можно представить как векторную сумму ее компонент . Для нахождения поля нити необходимо проинтегрировать данное выражение. Учитывая, что нить симметрична относительно отрезка b, проходящего через ее середину, , следовательно, .

Элементарная напряженность . Выразим элемент длины нити через расстояние до рассматриваемой точки , учитывая, что , перейдем к интегрированию по углам

Если нить бесконечная, то j2 = 0, а j1 = p, тогда напряженность поля

2)    Напряженность на оси кольца

Рассмотрим кольцо радиусом R, равномерно заряженное с линейной плотностью . Найдем напряженность поля в точке, расположенной на оси кольца на расстоянии h от его центра.

 Напряженность поля элементарного заряда  равна . При интегрировании необходимо учесть осевую симметрию, которая приводит к равенству нулю интеграла . Из рисунка видно, что , а , тогда .

 Чтобы найти напряженность поля в центре кольца положим h = 0, тогда напряженность в центре кольца равна нулю.

3)    Бесконечная заряженная плоскость

Рассмотрим бесконечную плоскость, заряженную с поверхностной плотностью . Выбираем в качестве элементарного заряда кольцевой слой радиуса r площадью . Найдем напряженность поля в точке, отстоящей от плоскости на некоторое расстояние h. Так как плоскость бесконечна, то имеет место симметрия относительно перпендикуляра, проведенного к плоскости из точки, в которой будет определена напряженность, поэтому, сохранится только составляющая вектора E, перпендикулярная плоскости.

, из рисунка видно, что толщина кольцевого слоя .

Подставляя значение площади, получим

, проинтегрируем данное выражение в пределах от j1 = p/2 до  j2 =0, тогда