Влияние размеров источника и монохроматичности света.

Мы неоднократно отмечали, что во всех практических интерференционных схемах большое значение имеют размеры источника света. Увеличение размеров источника приводит к ухудшению контрастности (уменшение видности) интерференционных полос и даже к их полному исчезновению. Получить отчетливую интерференционную картину от протяженного макроскопического источника практически невозможно.

Если размеры источника (т.е. ширина щели ) значительно меньше длины световой волны, то интерференционная картина будет резкой, т.к. разность хода интерферирующих лучей от любой точки источника до некоторой точки наблюдения будет практически одна и та же.

Но обычно размеры источника значительно больше длины волны. Протяженный источник можно представить как совокупность большого числа точечных взаимно некогерентных элементов. Каждый элемент дает свою интерференционную картину, сдвинутую (т.к. элементы разнесены пространственно) по отношению к картине даваемой другим элементом. Поскольку элементы некогерентны, хотя и монохроматичны, интенсивность в любом месте экрана равна сумме интенсивностей в картинах отдельных элементов. В результате наложения этих картин интерференционные полосы оказываются более или менее размытыми, а при значительной ширине источника перестают наблюдаться. Их можно наблюдать лишь при выполнении определенных условий, налагаемых на геометрию эксперимента.

Например, при постановке опытов по интерференции световых волн очень важно правильно выбрать направление и ограничить угол, под которым наблюдается интерференционная картина. Несоблюдение этих условий часто приводит к исчезновению эффекта.

Геометрию экспериментов характеризуют степенью пространственной когерентности. Характеризуется видимостью, т.к. , то пространственная когерентность связана с разбросом направлений вектора .

Два источника, размеры и взаимное расположение которых позволяют наблюдать интерференционную картину (при необходимой степени монохроматичности света) называют пространственно когерентными. Пусть сначала источник состоит из двух одинаковых  некогерентных светящихся точек  и , находящихся на небольшом расстоянии  друг от друга. В интерференционных опытах свет от одного источника попадает в точку наблюдения по двум различным путям. Пусть луч, идущий от  по одному пути (1), образует с линией источников угол , по другому (2) - . Если  очень мало (много меньше расстояния от них до вторичных источников  и ), то  можно считать, что аналогичные лучи от второго источника , образуют  с линией  такие же углы  и . Оптическая разность хода лучей  и , приходящих в точку наблюдения по пути (1): . Аналогично для лучей, приходящих в  по другому пути: . Вычтем почленно: .  - разность хода лучей, приходящих в  по разным путям от .  - аналогично.  - определяет сдвиг двух интерференционных картин, создаваемых источниками  и , т.е. результат наложения этих картин одна на другую. Если  или , то максимумы одной картины совпадают с максимумами другой. Видность полос максимальна (). При  - , т.к. источники одинаковы и светлые полосы одной совпадают с темными другой. При увеличении  ситуация повторяется. Нетрудно понять, что в этом случае  или , где  - ширина интерференционной полосы. Для схемы Юнга , где  - проекция отрезка  на перпендикулярное оптической оси направление (). Зависимость видности  от расстояния  между источниками нашла применение в астрономии при измерении  углового расстояния между компонентами двойных звезд.

Условие  или  является условием хорошей контрастности интерференционных полос. Пусть теперь протяженный источник имеет вид равномерно светящейся линии, все точки которой излучают свет некогерентно. Разобьем его мысленно на бесконечное множество пар некогерентных точечных источников, находящихся на расстоянии  друг от друга. Применим к парам источников результаты полученные выше (заменяем  на  ).  Если положение светлых полос от одного элемента пары совпадает с положением темных полос от другого элемента, то имеем min интерференции от пары и интерференции от всего протяженного источника не будет, т.к. условия совпадения одинаковы для всех пар элементов. Тогда при  - интерференция отсутствует (равномерный фон), т.к. между  лучами от  и  оптическая разность хода отличается на . Последующие исчезновения будут при увеличении  в раз, т.е. при . При промежуточных значениях  полосы наблюдаются на светлом фоне и видность их незначительна.

Условие хорошей контрастности интерференционных полос в случае протяженного источника: . При его выполнении . Если крайние интерферирующие лучи выходят из какой-либо точки протяженного источника симметрично по отношению к перпендикуляру к линии , проведенному из этой точки, т.е. , предыдущее условие примет вид ; , где - угол между этими крайними лучами – апертура интерференции. При больших апертурах наблюдать интерференцию можно только от источников, размеры которых меньше длины световой волны (т.е. при ).

Количественные исследования показывают, как  зависит от ширины протяженного источника . .

Для наблюдения интерференции с использованием источников больших размеров геометрия эксперимента должна быть такой, чтобы интерферирующие лучи выходили из источника под малым углом. Теперь становится понятной роль дополнительной щели в опыте Юнга.

При этом ширина щели и ее угловой размер  должны удовлетворять условию .

При исследовании видности полос в опытах с протяженным источником рассматривалось наложение интерференционных картин, создаваемых отдельными его элементами. Но возможна и другая постановка этого вопроса, основанная на понятии пространственной когерентности колебаний в пучке света от протяженного источника.

Уменьшение видности полос можно объяснить частичной когерентностью световых колебаний в точках  и , возбуждаемых протяженным источником. Для количественной характеристики когерентности колебаний в разных точках поперечного сечения светового пучка вводят понятие степени пространственной когерентности. Степень когерентности излучения в свою очередь можно характеризовать видностью порождаемой им интерференционной картины.

Значение видности, при которой  излучение будем считать когерентным, обозначим . Угол когерентности – максимальный угловой размер источника, излучение которого в соответствии с принятым критерием будем считать когерентным: . Ширина (радиус) когерентности – максимальное расстояние по фронту волны, на котором излучение в точках фронта может рассматриваться когерентным в соответствии с принятым критерием. В опыте Юнга это максимальное расстояние между щелями  и ; т.е. .

Таким образом излучение от некогерентного протяженного монохроматического источника может рассматриваться как когерентное на площадке, линейные размеры которой имеют порядок ширины когерентности, причем источник излучения при этом из центра площадки виден под углом когерентности.

Пространственная когерентность световой волны вблизи поверхности излучающего ее нагретого тела ограничена размером  всего в несколько длин волн. По мере удаления от источника степень пространственной когерентности возрастает.

Временная когерентность.

До сих пор мы рассматривали интерференцию в идеальном случае монохроматических волн. Результаты, полученные для монохроматической идеализации, имеют ограниченную применимость. Ни один реальный источник не дает строго монохроматического света. Даже испускаемые отдельными атомами спектральные линии имеют “естественную” ширину . Как и увеличение размеров источника, немонохроматичность света ведет сначала к ухудшению контрастности (видности) интерференционных полос, а затем к полному их исчезновению.

Пусть мы имеем точечный немонохроматический источник. Разложить свет на монохроматические составляющие можно по теореме Фурье. Представим его в виде совокупности точечных монохроматических источников, излучения которых отличаются . Каждый монохроматический источник может создать свою независимую интерференционную картину. Эти картины налагаются друг на друга и дают некоторое распределение интенсивности. Видимость результирующей интерференционной картины зависит от  данной точки и от степени монохроматичности источника, т.е. от того набора монохроматических компонент, которым мы представили наш немонохроматический источник.

Со степенью монохроматичности колебаний связывают понятие временной когерентности. При малых разностях хода  интерферирующих лучей (порядка нескольких ), т.е. когда длины путей их примерно одинаковы, положение полос в картинах, создаваемых отдельными монохроматическими составляющими практически одинаково. Полосы результирующей картины отчетливы.

По мере увеличения разности ходя  отдельные картины полос смещаются относительно друг друга  из-за различия в длинах волн, и в конце концов суммарная картина окажется полностью размытой.

Введение разности хода между интерферирующими пучками эквивалентно задержке одного из них во времени. Максимальная разность хода,  при которой возможна еще интерференция, называют длиной когерентности излучения , а соответствующее ей запаздывание – временем когерентности .

Условие временной когерентности световых колебаний можно запасать в виде . Т.е. при прохождении расстояния  две или несколько волн утрачивают когерентность, и интерференции не будет. Исчезновение интерференции при увеличении разности хода легко объяснить на основе статистической модели излучения. Свет можно представить как совокупность сменяющих друг  друга независимых гармонических цугов. В интерференционном опыте каждый цуг делиться на 2, которые по разным путям приходят в точку наблюдения. Когерентность существует только в пределах цуга. Если оптическая разность длин этих путей превышает протяженность цуга, то когерентные цуги не накладываются друг на друга. Интерференции нет.

Таким образом, длина когерентности – есть длина волнового цуга, время когерентности – средняя продолжительность цуга.

Таким образом, к условию пространственной когерентности  добавляется условие временной когерентности .

Кривая видности для узкой спектральной линии:

Если у любого реального источника известна функция распределения , то всегда можно рассчитать видимость той суммарной интерференционной картины, которую создает источник.

Разным формам огибающей волнового цуга соответствуют  и разные спектральные контуры, но соотношение между  и  имеет универсальный характер:  или . Чем больше длина  цуга, тем уже соответствующий ему спектральный интервал . . Чем меньше  или , тем больше  и выше максимальный порядок интерференции, который может наблюдаться при заданной : . Для белого света , т.е. . Т.е. в солнечном свете интерференционные полосы наблюдаться не должны. Однако это справедливо для таких приемников как фотоэлементы, термостолбики и т.п. Глаз – селективный приемник. Именно поэтому он наблюдает около 10 полос в белом свете. Центральный max ахроматический (неокрашенный), остальные – окрашены.

Понятие когерентности относительно: чем меньше инерционность прибора наблюдения за интерференционной картиной, тем более когерентными кажутся волны.