Условия максимума  и  минимума  интерференции

Явление наложения когерентных световых волн, в результате которого наблюдается чередование усиления света в одних точках пространства и ослабления в других,  называют интерференцией света.

Необходимым условием интерференции света является когерентность складываемых синусоидальных волн.

Волны называют когерентными, если их частоты не изменяются с течением времени, т.е. разность фаз складываемых  волн - величина постоянная, т.е.  Dj= const.

 Этому условию удовлетворяют монохроматические волны, т.е. волны равных частот (w1=w2=w).

В силу поперечности электромагнитных (световых) волн условие  когерентности является недостаточным для получения устойчивой интерференционной картины.

Достаточное условие заключается в том, чтобы колебания векторов , складываемых электромагнитных полей совершались вдоль одного и того же или близких направлений. При этом должно происходить совпадение не только векторов , но и , что будет наблюдаться лишь в том случае, если волны распространяются вдоль одной и той же прямой, т.е. являются одинаково поляризованными.

Найдем условия максимума и минимума интерференции. Для этого рассмотрим сложение двух монохроматических, когерентных световых волн одинаковой частоты (w1=w2=w), имеющих равные амплитуды (Е01 = Е02 = Е0), совершающих колебания в вакууме в одном направлении по закону синуса (или косинуса) , т.е.

                                             Е1 = Е01sin(wt - kr1 + j01),                                          (2.3)

                                             Е2 = Е02sin(wt - kr2 + j02),                                          (2.4)

где r1, r2 - расстояния от источников S1 и  S2 до точки наблюдения на экране; j01, j02 - начальные фазы; k= -  волновое число.

Согласно принципу суперпозиции вектор  напряженности результирующего колебания равен геометрической сумме векторов напряженности складываемых волн, т.е. . Для простоты положим, что начальные фазы складываемых волн равны нулю, т.е. j01=j02 =0.

По абсолютной величине, имеем

                     Е = Е1 + Е2 =2Е0sin×cos.                     (2.5)

В (2.5) выражение   (r2 - r1)×n = d - оптическая разность хода складываемых  волн;  n - абсолютный показатель преломления среды.

Для сред отличных от вакуума, например, для воды (n1, l1), стекла (n2, l2) и т.д.    k=k1 n1; k=k2 n2; l=l1n1; l=l2 n2 ;   k1= ; k2=,

где l - длина волны света в вакууме,

Из формулы (2.5) следует, что результирующая электромагнитная волна изменяется со временем с той же циклической частотой w.

Множитель cosне зависит от времени, поэтому величину

                                      Е0,рез =2Е0cos                                                (2.6)

называют амплитудой результирующей волны.

Амплитуда мощности волны определяется (для единицы поверхности фронта волны) вектором Пойнтинга, т.е. по модулю

                                        ,                                    (2.7)

где½½=с×w, w=e0E2  - средняя объемная плотность энергии электромагнитного поля (для вакуума e=1), т.е. ½½= с ×e0E2.

Если J=½½- интенсивность результирующей волны, а  J0 = с×e0 - максимальная интенсивность ее, то с учетом   (2.6) и (2.7) интенсивность результирующей волны будет изменяться по закону

                                                  J = 2J0{1+ сos}.                                 (2.8)

Разность фаз складываемых волн            Dj = j2 - j1 = =сonst             (2.9)

и не зависит от времени, где  j2 = wt - kr2 + j02; j1 =wt - kr1 + j01.

Амплитуду результирующей волны найдем по формуле

                                                      (2.10)

где                                              Dj = k(r2-r1)n = .                                         (2.11)

Возможны два случая:

 1.Условие максимума.

Если разность фаз складываемых волн равна четному числу p (Dj=2mp, где m = 0, ±1, ±2, ...) , то амплитуда будет максимальной, т.е.

                                                                             (2.12)

или                                                          Е0 = Е01 + Е02.                                          (2.13)

Следовательно, амплитуды волн складываются,  а при их равенстве

 (Е01 = Е02)  результирующая амплитуда - удваивается.

Результирующая интенсивность   также максимальна:

                                                          Jmax = 4J0.                                                 (2.14)

Используя формулу (2.11), находим условие максимума для оптической разности хода d, т.е.

                                             Djмах  =2mp=d,                                              (2.15)

                                                 dмах = 2m.                                                     (2.16)

Вывод: Оптическая  разность хода  равна четному числу полуволн.

 2. Условие минимума.

Если разность фаз складываемых волн равна нечетному числу p , то амплитуда будет минимальной, т.е.

                                                                             (2.17)

или                                                  Е0 = ½Е01 - Е02½.                                             (2.18)

Следовательно, амплитуды волн вычитаются,  а при Е01 = Е02 резуль-тирующая амплитуда равна нулю.

Результирующая интенсивность минимальна:        Jmin =0.       (2.19)

Используя формулу (2.11), получаем условие минимума для оптической разности хода d, т.е.              Djmin  = (2m+1)p=d,                                              (2.20)

                                              dmin = (2m+1).                                                 (2.21)

Вывод: Оптическая  разность хода  равна нечетному числу полуволн.

Таким образом, только когерентные световые волны дают устойчивую во времени интерференционную картину. При этом результирующая интен-сивность изменяется по закону        J = J1 +J2 +2,                         (2.22)

так как J~E2 , cм. формулу (2.10).

Однако все естественные источники света некогерентны.

Приемники их излучения (глаз, термоэлементы, болометры и др.) воспринимают только среднюю освещенность. В этом случае среднее по времени значение cos = 0, поэтому  происходит простое сложение интенсивностей света, т.е. J= J1 +J2. Следовательно, некогерентные источники при сложении их излучения не дают интерференционной картины.

Вывод: В результате интерференции на  экране наблюдается чередование максимумов и минимумов. При этом происходит перераспределение энергии световых волн между соседними областями пространства и выполняется  закон сохранения энергии.