Метод зон Френеля - Материалы для подготовки к экзамену по физике. Оптика.

Строгий расчет дифракции света связан с математическими трудностями. Френель предложил более простой метод для объяснения дифракции света, который называют методом зон Френеля.

Согласно этому методу в любой момент времени волновую поверхность  S разбивают на  отдельные зоны, каждая из которых отделена от предыдущей на  (рис. 3.1). При распространении плоской монохроматической световой волны (параллельный пучок лучей) в т. М на экране наблюдается дифракция света в виде чередующихся светлых и темных полос.

На произвольной волновой поверхности S, находящейся на расстоянии r0 (ОМ) от экрана, выделим  зоны, которые в данном случае образуют ряд концентрических полос (колец).

Границей первой (центральной) зоны служат точки поверхности S,

находящейся на расстоянии r1 =  от точки М (рис. 3.1).

Соответственно точки В, С  волновой поверхности, находящиеся на расстоянии  r1 = r0+ l,   r3 =    и т.д. от т. М, образуют границы второй, третьей и т.д. зон Френеля. Найдем радиусы зон Френеля.

В  D ОАМ радиус первой зоны

 или ,    (3.1)

где  r0 - расстояние от т. О до т. М;

        l - длина волны света.

 В D ОВМ радиус второй зоны

 или ,    (3.2)

где слагаемым l2 пренебрегаем, так как l2<<R.

В D ОСМ радиус третьей зоны

 или   (3.3)

и т.д.  Следовательно, для любой  m - й зоны Френеля      ,       (3.4)

где m = 1, 2, 3, ... .

Найдем площади зон Френеля.

Используя (3.1), находим площадь первой зоны       S1 =p=pr0l.            (3.5)

Все остальные зоны Френеля   представляют собой концентрические полосы. Поэтому площадь второй зоны равна разности площадей круга радиуса R2 и R1, т.е.                                          S2 =  p- p = pr0l.                                             (3.6)

Площадь третьей зоны        S2 =  p - p  = pr0l

и т.д. Площадь m-ой зоны        Sm  =  pr0l.                                                             (3.7)

Таким образом, площади всех зон Френеля  равновелики и содержат одинаковое количество вторичных источников.

Волны, возбуждаемые в т. М двумя соседними зонами, противоположны по фазе и при наложении гасят друг друга, так как оптическая разность хода d от этих зон до т. М равна нечетному числу длин полуволн (условие минимума интерференции).

Следовательно, амплитуду результирующего колебания можно найти по формуле                 

                   А = А1 - А2 + А3 - А4 + ... ,                                  (3.8)

где А1, А2, А3, ... - амплитуды колебаний, возбуждаемые в т. М  1-, 2-, 3-й  и т.д. зонами Френеля.

Однако по мере увеличения номера зоны величина амплитуды от соответствующей зоны уменьшается, т.е.  А1>А2>А3>А4> ...

Общее число зон Френеля на волновом фронте велико (N»105).

Результирующую амплитуду можно получить, если представить (3.8) в  следующем виде

                                  (3.9)

так как все выражения, стоящие в скобках, равны нулю.

Следовательно, при полностью открытом фронте световой волны, амплитуда результирующего колебания равна половине амплитуды первой зоны Френеля.

                                    Метод векторных диаграмм

Амплитуды и фазы световых колебаний в задачах на дифракцию с использованием зон Френеля можно найти графически.

Каждую зону разбивают еще на ряд равных по амплитуде участков.

 Каждая из них отличается от соседней по фазе на величину Dj =p/N,

где  N - число частей, на которые разбита одна зона.

Колебания на краю зон отличаются по фазе на p.

Результирующая амплитуда    каждой зоны  , где Ei - амплитуда i-го участка зоны. Колебание, определяемое каждым участком первой зоны, будем характеризовать вектором 1, который направлен под углом Dj11 =p/N, например, к оси Х  (рис. 3.2).

Колебания второго участка изобразим таким же вектором, но направленным под углом Dj21 к первому вектору и т. д.

В результате построения всей векторной диаграммы для одной зоны вектор, представляющий колебание последнего участка зоны, своим концом замкнет многоугольник  в т. А . (На рис. 3.2 зона разбита на N=8 участков). Следовательно, вектор =- результирующая амплитуда колебания всей первой зоны I, а результирующая фаза  j1 =. На рис. 3.2 вектором = изображена амплитуда колебания, которая получается от открытой  половины первой зоны. Ее фаза Dj=.При распространении неограниченной волны вся бесконечная совокупность зон дает векторную диаграмму, в пределе переходящую в спираль (рис. 3.3). Амплитуда результирующего колебания ==, а ее фаза  j=. Например, при открытых только двух зонах вектор  даст амплитуду первой зоны I, а вектор  - второй зоны II).

Эти векторы направлены противоположно, поэтому их результирующая амплитуда равна вектору  (рис. 3.3). Графический метод (метод векторных диаграмм) нахождения амплитуд и фаз удобен при решении задач, когда имеет место перекрытие непрозрачным экраном ряда или части зон.

     Зонные пластинки

Метод расчета освещенности за системой экранов с использованием зон Френеля положен в основу теории зонных пластинок.

 Действительно, интенсивность максимумов дифракционной картины в т. М можно увеличить, если использовать амплитудную зонную пластинку, в которой, например, все четные зоны  (пластинка со светлым центром) или все нечетные (пластинка с темным центром) можно перекрыть непрозрачным  экраном.

Тогда при А1 = А3 = А5= ...                           Арез=А1 + А3 +А5+ ...=N.              (3.10)

Интенсивность                         J =.                                                      (3.11)

Еще больший эффект можно получить с помощью фазовой зонной пластинки (Релей, Вуд), в которой, регулируя толщины пластинки, можно фазу колебания, например, четных зон Френеля или нечетных, изменить на противоположную.  Тогда                                          А =  =2N.                                            (3.12)

Соответственно интенсивность           J =4.                                      (3.13)

Метод зон Френеля качественно объясняет причину появления светлого пятна в центре тени от круглого диска (пятно Пуассона), которое создано вторичными волнами от первой кольцевой зоны Френеля, окружающей диск.