Квантовый осциллятор - Шпаргалки по Физике. Оптика.

Линейный (одномерный) гармонический осциллятор – система, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы. Потенциальная энергия линейного гармонического осциллятора

                                                    ,                                             (113)

где т – масса частицы, ω0 – собственная частота колебаний осциллятора, х – отклонение от положения равновесия. Зависимость (113) имеет вид параболы (рис. 65), т. е. «потенциальная яма» в данном случае является параболической. Оператор Гамильтона для осциллятора в квантовой теории имеет вид                .                (114)

Рис. 65

Записав стационарное уравнение Шредингера в операторной форме  и учитывая (114), придем к уравнению Шредингера для гармонического осциллятора

                                 ,                          (115)

где Е – полная энергия осциллятора.

Опуская подробное решение волнового уравнения (115) приведем полученные собственные функции линейного гармонического осциллятора                                 ,                               (116)

где  – полином Чебышева-Эрмита n - го порядка:                       ;

функции (116) нормированы так, что       .

Нормированные волновые функции стационарных состояний квантового осциллятора:        (n = 0)       (117)

                                          (n = 1)       (118)

                                 (n = 2)       (119)

Анализируя волновые функции (117) – (119), видим, что функция (117) вообще не обращается в нуль (кроме ), функция (118) обращается в нуль при х = 0. Точка, в которой волновая функция обращается в нуль, называется узлом. Функция (119) обращается в нуль при , т. е. имеет два узла. Таким образом, квантовое число определяет число узлов собственной волновой функции.

     (п = 0, 1, 2, ...).   (120)

Формула (120) показывает, что энергия квантового осциллятора может иметь лишь дискретные значения, т. е. квантуется.

. При  т. е. энергетические уровни осциллятора совпадают с величинами квантованной энергии осциллятора, постулируемыми Планком в теории излучения черного тела.

Из формулы (120) вытекает важный результат: минимальная энергия квантового осциллятора     ,     т. е. его энергия не может обращаться в нуль (конечно, при ω0 ≠ 0), в то время как в классической теории энергия основного состояния – состояния покоя – равна нулю. Существование минимальной энергии (энергия нулевых колебаний) является типичной для квантовых систем и представляет собой прямое следствие соотношения неопределенностей.

Плотность вероятности обнаружить частицу на оси х определяется квадратом модуля волновой функции .