Математическая психология

Математическая психология — это раздел теоретической психологии, использующий для построения теорий и моделей математический аппарат.

«В рамках математической психологии должен осуществляться принцип абстрактно-аналитического исследования, в котором изучается не конкретное содержание субъективных моделей действительности, а общие формы и закономерности психической деятельности» .

Объект математической психологии: естественные системы, обладающие психическими свойствами; содержательные психологические теории и математические модели таких систем. Предмет — разработка и применение формального аппарата для адекватного моделирования систем, обладающих психическими свойствами. Метод — математическое моделирование.

Процесс математизации психологии начался с момента ее выделения в экспериментальную дисциплину. Этот процесс проходит ряд этапов.

Первый — применение математических методов для анализа и обработки результатов экспериментального исследования, а также выведение простых законов (конец XIX в. — начало XX в.). Это время разработки закона научения, психофизического закона, метода факторного анализа.

Второй (40-50-е гг.) — создание моделей психических процессов и поведения человека с использованием ранее разработанного математического аппарата.

Третий (60-е гг. по настоящее время) — выделение математической психологии в отдельную дисциплину, основная цель которой — разработка математического аппарата для моделирования психических процессов и анализа данных психологического эксперимента.

Четвертый этап еще не наступил. Этот период должен характеризоваться становлением психологии теоретической и отмиранием — математической.

Часто математическую психологию отождествляют с математическими методами, что является ошибочным. Математическая психология и математические методы соотносятся друг с другом так же, как теоретическая и экспериментальная психология.

История развития

Термин «математическая психология» стал применяться с появлением в 1963 г. в США «Руководства по математической психологии» . В эти же годы здесь начинает издаваться журнал «Journal of Mathematical Psychology».

Проведенный в лаборатории математической психологии ИП РАН анализ работ позволил выделить основные тенденции развития математической психологии.

В 60—70-е гг. получили широкое распространение работы по моделированию обучения, памяти, обнаружения сигналов, поведения, принятия решений. Для их разработки использовался математический аппарат вероятностных процессов, теории игр, теории полезности и др. Было завершено создание математической теории обучения. Наиболее известны модели Р. Буша, Ф. Мостеллера, Г. Бауэра, В. Эс-теса, Р. Аткинсона. (В последующие годы наблюдается снижение количества работ по данной проблематике.) Появляется множество математических моделей по психофизике, например С. Стивенса, Д. Экмана, Ю. Забродина, Дж. Светса, Д. Грина, М. Михайлевской, Р. Льюса (см. разд. 3.1). В работах по моделированию группового и индивидуального поведения, в том числе в ситуации неопределенности, использовались теории полезности, игр, риска и стохастические процессы. Это модели Дж. Неймана, М. Цетлина, В. Крылова, А. Тверского, Р. Льюса. В рассматриваемый период создавались глобальные математические модели основных психических процессов.

В период до 80-х гг. появляются первые работы по психологическим измерениям: осуществляется разработка методов факторного анализа, аксиоматики и моделей измерения, предлагаются различные классификации шкал, ведется работа над созданием методов классификации и геометрического   представления   данных,

строятся модели, основанные на лингвистической переменной (Л. Заде).

В 80-е гг. особое внимание уделяется уточнению и развитию моделей, связанных с разработкой аксиоматики различных теорий.

В психофизике это: современная теория обнаружения сигналов (Д. Свете, Д. Грин), структуры сенсорных пространств (Ю. Забродин, Ч. Измайлов), случайных блужданий (Р. Льюс, 1986), различения Линка и др.

В области моделирования группового и индивидуального поведения: модель решения и действия в психомоторных актах (Г. Коренев, 1980), модель целенаправленной системы (Г. Коренев), «деревья» предпочтения А. Тверского, модели системы знаний (Дж. Грино), вероятностная модель научения (А. Дрынков, 1985), модель поведения в диадном взаимодействии (Т. Савченко, 1986) моделирование процессов поиска и извлечения информации из памяти (Р. Шифрин, 1974), моделирование стратегий принятия решений в процессе обучения (В. Венда, 1982) и др.

В теории измерения:

•  множество моделей многомерного шкалирования (МШ), в которых прослеживается тенденция к снижению точности описания сложных систем — модели предпочтения, неметрическое шкалирование, шкалирование в псевдоевклидовом пространстве, МШ на «размытых» множествах (Р. Шепард, К. Кумбс, Д. Краскал, В. Крылов, Г Головина, А. Дрынков);

•   модели классификации: иерархические, дендритные, на «размытых» множествах (А. Дрынков, Т. Савченко, В. Плюта);

•   модели конфирматорного анализа, позволяющие формировать культуру проведения экспериментального исследования;

•   применение математичеекого моделирования в психодиагностике (А. Анастази, П. Клайн, Д. Кендалл, В. Дружинин)

В 90-х гг. глобальные математические модели психических процессов практически не разрабатываются, однако значительно возрастает количество работ по уточнению и дополнению существующих моделей, продолжает интенсивно развиваться теория измерений, теория конструирования тестов; разрабатываются новые шкалы, более адеквантые реальности (Д. Льюс, П. Саппес, А. Тверски, А. Марли); широко внедряется в психологию синергетический подход к моделированию.

Если в 70-е гг. работы по математической психологии в основном появлялись в США, то в 80-е наблюдается бурный рост ее развития в России, в настоящее время, к сожалению, заметно снизившийся из-за недостаточного финансирования фундаментальной науки.

Наиболее значимые модели появились в 70-е-начале 80-х гг., далее они дополнялись и уточнялись. В 80-е гг. интенсивно развивалась теория измерений. Эта работа продолжается и сегодня. Особенно важно, что многие методы многомерного анализа получили широкое применение в экспериментальных исследованиях; появляется множество специально ориентированных на психологов программ анализа данных психологического тестирования.

В США большое внимание уделяется чисто математическим вопросам моделирования. В России же, наоборот, математические модели зачастую не обладают достаточной строгостью, что приводит к неадекватному описанию реальности.

Математические модели в психологии. В математической психологии принято выделять два направления: математические модели и математические методы. Мы нарушили эту традицию, так как считаем, что нет необходимости выделять отдельно методы анализа данных психологического эксперимента. Они являются средством построения моделей: классификации, латентных структур, семантических пространств и др.

Психологические измерения

В основе применения математических методов и моделей в любой науке лежит измерение. В психологии объектами измерения являются свойства системы психики или ее подсистем, таких, как восприятие, память, направленность личности, способности и т.д. Измерение — это приписывание объектам числовых значений, отражающих меру наличия свойства у данного объекта.

Назовем три важнейших свойства психологических измерений.

1.  Существование семейства шкал, допускающих различные группы преобразований.

2.  Сильное влияние процедуры измерения на значение измеряемой величины.

3.  Многомерность измеряемых психологических величин, т. е. существенная их зависимость от большого числа параметров.

В психологических измерениях используются различные классификации типов шкал. Тип шкалы определяется природой измеряемой величины.

Общая концепция измерения впервые была в достаточно развитом виде сформулирована Д. Скоттом и П. Суппесом. Дальнейшее развитие она получила в работах П. Суппеса и Дж. Зиннеса, Д. Льюса и Е. Галантера и др. В последнее время общая теория измерений интенсивно развивается И. Пфанцаглем, а также Д. Льюсом и Л. Неренсом. В этой концепции широко используется понятие реляционной системы (системы с отношениями), введенное А. Тверским.

С. Стивенс пытался создать свою систему шкальных типов, основываясь на понятиях эмпирической операции и математической структуры. Он различает четыре вида шкал: наименований, порядка, интервалов и отношений.

Типы шкал обусловливаются видом функции f, осуществляющей допустимые преобразования ψ = f (φ).

*Если f — монотонная функция, то соответствующая шкала является шкалой порядка;

*если f — линейная функция, то соответствующая шкала — это шкала интервалов;

*если f определяет преобразование подобия, то соответствующая шкала — шкала отношений.

К. Кумбс расширяет классификацию Стивенса введением шкал, частично упорядоченных и сложных (комбинированных из двух частей: объектов и расстояний). Он различает три основных типа неметрических шкал и девять типов сложных, однако если рассматривать лишь сами объекты, то комбинированные шкалы тождественны номинальным.

Классификация Торгенсона, как и Кумбса, опирается на предположение о том, что шкальные типы следует трактовать как формальные математические модели. Его классификация включает следующие типы шкал: порядковые — без начала отсчета и с началом отсчета, интервальные — без начала отсчета и с началом отсчета.

Суппес и Зиннес переосмыслили теорию классификации Стивенса в терминах классов числового приписывания: для дифференциации шкал существенны лишь свойства числовых приписываний с точки зрения допустимых преобразований, но никак не эмпирические операции. К. Берка (1987) считает, что вполне достаточно различать метрические и неметрические типы шкал, которые представляют два эмпирико-математических метода шкалирования и измерения. Таким образом, интервальную шкалу можно трактовать как специфический вариант шкалы порядка, т. е. шкалы неметрического типа.

Американские авторы в публикациях 90-х гг. (см. журнал «Journal of Mathematical Psychology») описывают множество работ по применению теории измерений к разработке шкал для ранжирования и выбора альтернатив (В. Malakooty,1991), для измерения нетранзитивного аддитивного объединения (P. Fishburn, 1991) и экспериментов с использованием попарного сравнения по шкалам отношений (I. Basak, 1992). Полемика вокруг основ измерений не прекращается.

Анализ существующих методов прямых оценок различия показал, что шкалы, с которыми работает испытуемый, не соответствуют природе психологического механизма, лежащего в основе оценивания. Поэтому был предложен подход, основанный на «нечетких» множествах (Л. Заде, 1974). Суть его в том , что используются так называемые «лингвистические» переменные вместо числовых переменных или в дополнение к ним; отношения между переменными описываются «нечеткими» («размытыми») высказываниями, а сложные отношения описываются «нечеткими» алгоритмами.

Первая — создание теории однородных сред, элементами которых являются устройства, подобные нейронам.

Вторая — компьютерная графика, помогающая решать задачи с помощью актуализации образного мышления. Когнитивная интерактивная компьютерная графика является средством воздействия на правополушарное мышление человека в процессе научного творчества.

Третья — специалисты различных направлений в области ИИ считают важным развитие работ, касающихся представлений знаний и манипулирования ими (экспертные системы).

Нетрадиционные методы моделирования

Моделирование на «размытых» множествах

Нетрадиционный подход к моделированию связан с приписыванием элементу некоторой числовой оценки, которая не может объясняться объективной или субъективной вероятностью, а трактуется как степень принадлежности элемента к тому или иному множеству. Множество таких элементов называется «нечетким», или «размытым» множеством.

Каждое слово х естественного языка можно рассматривать как сжатое описание нечеткого подмножества М(х) полного множества области рассуждений U, где М(х) есть значение х. В этом смысле весь язык как целое рассматривается в качестве системы, в соответствии с которой нечетким подмножествам множества U приписываются элементарные или составные символы (т. е. слова, группы слов и предложения). Так, цвет объекта как некоторую переменную, значения этой переменной (красный, синий, желтый, зеленый и т. д.) можно интерпретировать как символы нечетких подмножеств полного множества всех объектов. В этом смысле цвет является нечеткой переменной, т. е. переменной, значениями которой являются символы нечетких множеств. Если значения переменных — это предложения в некотором специальном языке, то в данном случае соответствующие переменные называются лингвистическими (Л. Заде, Ю. Шрейдер).

Синергетика в психологии

Еще одна альтернатива традиционному математическому аппарату — синергетический подход, в котором математическая идеализация проявляется чувствительностью к начальным условиям и непредсказуемостью исхода для системы. Поведение можно описать с помощью апериодических и поэтому непредсказуемых временных рядов, не ограничиваясь при моделировании стохастическими процессами. Беспорядок в обществе может предшествовать появлению новой структуры, в то время как стохастические системы имеют низкую вероятность порождения интересных структур. Именно апериодические решения детерминированных уравнений, описывающих самоорганизующиеся структуры, помогут прийти к пониманию психологических механизмов самоорганизации (Фриман, 1992). В этих работах разум рассматривается как «странный аттрактор», управляемый уравнением сознания. Математически «странный аттрактор» — это множество точек, к которому приближается траектория после затухания переходных процессов.

В основе большинства традиционных моделей психотерапии лежит концепция равновесия. Согласно синергетическому подходу, разум является нелинейной системой, которая при далеких от равновесия условиях превращается в части сложных аттракторов, а равновесие — лишь предельный случай. Этот тезис развивают теоретики психотерапии, выбирая тот или иной аспект теории хаоса. Так, например, выделяется феномен хаотического в психофизиологической саморегуляции (Stephen, Franes, 1992) и обнаруживаются аттракторы в паттернах семейного взаимодействия (L. Chamber, 1991).