Q - критерий Розенбаума

Назначение критерия

Критерий используется для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. В каждой из выборок должно быть не менее 11 испытуемых.

Описание критерия

Это очень простой непараметрический критерий, который позволяет быстро оценить различия между двумя выборками по какому-либо признаку. Однако если критерий Q не выявляет достоверных различий, это еще не означает, что их действительно нет.

В этом случае стоит применить критерий φ* Фишера. Если же Q-критерии выявляет достоверные различия между выборками с уровнем значимости р<0,01, можно ограничиться только им и избежать трудностей применения других критериев.

Критерий применяется в тех случаях, когда данные представлены по крайней мере в порядковой шкале. Признак должен варьировать в каком-то диапазоне значений, иначе сопоставления с помощью Q -критерия просто невозможны. Например, если у нас только 3 значения признака, 1, 2 и 3, - нам очень трудно будет установить различия. Метод Роэенбаума требует, следовательно, достаточно тонко измеренных признаков.

Применение критерия начинаем с того, что упорядочиваем значения признака в обеих выборках по нарастанию (или убыванию) признака. Лучше всего, если данные каждого испытуемого представлены на отдельной карточке. Тогда ничего не стоит упорядочить два ряда значении по интересующему нас признаку, раскладывая карточки на столе. Так мы сразу увидим, совпадают ли диапазоны значений, и если нет, то насколько один ряд значений "выше" (S1), а второй - "ниже" (S2).

Для того, чтобы не запутаться, в этом и во многих других критериях рекомендуется первым рядом (выборкой, группой) считать тот ряд, где значения выше, а вторым рядом - тот, где значения ниже.

Гипотезы

Н0: Уровень признака в выборке 1 не превышает уровня признака в выборке 2.

        H1: Уровень признака в выборке 1 превышает уровень признака в выборке 2.

Графическое представление критерия Q

На Рис. 2.2. представлены три варианта соотношения рядов значений в двух выборках. В варианте (а) все значения первого ряда выше всех значений второго ряда. Различия, безусловно, достоверны, при соблюдении условия, что n1,n2 > 11.

В варианте (б), напротив, оба ряда находятся на одном и том же уровне: различия недостоверны. В варианте (в) ряды частично перекрещиваются, но все же первый ряд оказывается гораздо выше второго. Достаточно ли велики зоны S1 и S2, в сумме составляющие Q, можно определить по Таблице I Приложения 1, где приведены критические значения Q для разных n. Чем величина Q больше, тем более достоверные различия мы сможем констатировать.

Рис. 2.2. Возможные соотношения рядов значений в двух выборках:

*S1 - зона значений 1-го ряда, которые выше максимального значения 2-го ряда;

*S2 - зона значений второго ряда, которые меньше минимального значения 1-го ряда;

*штриховкой отмечены перекрещивающиеся зоны двух рядов

Ограничения критерия Q

1. В каждой из сопоставляемых выборок должно быть не менее 11 наблюдений. При этом объемы выборок должны примерно совпадать. Е.В. Гублером указываются следующие правила:

а) если в обеих выборках меньше 50 наблюдений, то абсолютная величина разности между n1 и n2 не должна быть больше 10 наблюдений;

б) если в каждой из выборок больше 51 наблюдения, но меньше 100, то абсолютная величина разности между n1 и n2 не должна быть больше 20 наблюдений;

в) если в каждой из выборок больше 100 наблюдений, то допускается, чтобы одна из выборок была больше другой не более чем в 1,5-2 раза (Гублер Е.В., 1978, с. 75).

2. Диапазоны разброса значений в двух выборках должны не совпадать между собой, в противном случае применение критерия бессмысленно. Между тем, возможны случаи, когда

диапазоны разброса значений совпадают, но, вследствие разносторонней асимметрии двух распределений, различия в средних величинах признаков существенны (Рис. 2.3., 2.4).

Рис. 2.3. Вариант соотношения распределений признака  в двух выборках, при котором критерий Q беспомощен

Рис. 2.4. Вариант соотношения распределений признака  в двух выборках, при котором критерий Q может быть могущественным

Пример

У предполагаемых участников психологического эксперимента, моделирующего деятельность воздушного диспетчера, был измерен уровень вербального и невербального интеллекта с помощью методики Д. Векслера. Было обследовано 26 юношей в возрасте от 18 до 24 лет (средний возраст 20,5 лет). 14 из них были студентами физического факультета, а 12 - студентами психологического факультета Ленинградского университета (Сидоренко Е.В., 1978). Показатели вербального интеллекта представлены в Табл. 2.1.

Можно ли утверждать, что одна из групп превосходит другую по уровню вербального интеллекта?

Таблица 2.1

Индивидуальные значения вербального интеллекта в выборках студентов физического (n1=14) и психологического (п2 =12) факультетов

Упорядочим значения в обеих выборках, а затем сформулируем гипотезы:

H0: Студенты-физики не превосходят студентов-психологов по уровню вербального интеллекта.

H1:  Студенты-физики превосходят студентов-психологов по уровню вербального интеллекта.

Таблица 2.2.

Упорядоченные по убыванию вербального интеллекта ряды индивидуальных значении в двух студенческих выборках

Как видно из Табл. 2.2, мы правильно обозначили ряды: первый, тот, что "выше" - ряд физиков, а второй, тот, что "ниже" - ряд психологов.

По Табл. 2.2 определяем количество значений первого ряда, которые больше максимального значения второго ряда: S1=5.

Теперь определяем количество значений второго ряда, которые меньше минимального значения первого ряда: S2=6.

Вычисляем Qэмп    по формуле:

Qэмп = S1 + S2 = 5+6 =11

По Табл.1   Приложения 1 определяем критические значения Q для n1=14, n2=12:

Qкр=

Ясно, что чем больше расхождения между выборками, тем больше величина Q. Н0 отклоняется при Qэмп ≥Qкр, а при Qэмп  < Qкр  мы будем вынуждены принять Н0.

Построим «ось значимости»

Qэмп  > Qкр  (p≤0.01)

Ответ: H0  отклоняется.

Принимается H1. Студенты-физики превосходят студентов-психологов по уровню вербального интеллекта (р<0,01). Отметим, что в тех случаях, когда эмпирическая величина критерия оказывается на границе зоны незначимости, мы имеем право утверждать лишь, что различия достоверны при р<0,05, если же оно оказывается между двумя критическими значениями, то мы можем утверждать, что р< 0,05.

Если эмпирическое значение критерия оказывается на границе, мы можем утверждать, что р< 0,01, если оно попадает в зону значимости, мы можем утверждать, что р< 0,01.

Поскольку уровень значимости выявленных различий достаточно высок (р<0,01), мы могли бы на этом остановиться. Однако если исследователь сам психолог, а не физик, вряд ли он на этом остановится. Он может попробовать сопоставить выборки по уровню невербального интеллекта, поскольку именно невербальный интеллект определяет уровень интеллекта в целом и степень его организованности (см., например: Бергер М.А., Логинова Н.А., 1974).

Мы вернемся к этому примеру при рассмотрении критерия Манна-Уитни и попытаемся ответить на вопрос о соотношении уровней невербального интеллекта в двух выборках. Быть может, психологи еще окажутся в более высоком ряду!

АЛГОРИТМ 3

Подсчет критерия Q Розенбаума

1.Проверить, выполняются ли ограничения: n1, n2 ≥ 11, n1 ≈ n2

2.Упорядочить значения отдельно в каждой выборке по степени возрастания признака. Считать выборкой 1 ту выборку, значения в которой предположительно выше, а выборкой 2 - ту, где значения предположительно ниже.

3.Определить самое высокое (максимальное) значение в выборке 2.

4.Подсчитать количество значений в выборке 1, которые выше максимального значения в выборке 2. Обозначить полученную величину как S1.

5.Определить самое низкое (минимальное) значение в выборке 1.

6.Подсчитать количество значений в выборке 2, которые ниже минимального значения выборки 1. Обозначить полученную величину как S2.

7.Подсчитать эмпирическое значение Q по формуле: Q=S1+S2.

8.По Табл. I Приложения I определить критические значения Q для данных n1, и  n2.  Если Qэмп  равно Q0,05 или превышает его, Н0 отвергается.

9.При n1, n2 >26 сопоставить полученное эмпирическое значение с Qкр =8 (р≤0,05) и QKp=10(p≤0,01). Если Qэмп превышает или по
крайней мере равняется Qкр=8, H0 отвергается.