Критерий X2r Фридмана

Назначение критерия

Критерий X2r применяется для сопоставления показателей, измеренных в трех или более условиях на одной и той же выборке испытуемых.

Критерий позволяет установить, что величины показателей от условия к условию изменяются, но при этом не указывает на направление изменений.

Описание критерия

Данный критерий является распространением критерия Т Вилкоксона на большее, чем 2, количество условий измерения. Однако здесь мы ранжируем не абсолютные величины сдвигов, а сами индивидуальные значения, полученные данным испытуемым в 1, 2, 3 и т. д. замерах.

Например, если у испытуемого в первом замере определена скорость прохождения графического лабиринта 54 сек, во втором замере - 42 сек, а в третьем замере - 63 сек, то эти показатели получат ранги, соответственно, 2, 1, 3, поскольку меньшему значению, полученному во втором замере, мы начислим ранг 1, среднему значению, полученному в первом замере - ранг 2, а наибольшему значению, полученному в третьем замере - ранг 3.

После того, как все значения будут проранжированы, подсчитываются суммы рангов по столбцам для каждого из произведенных замеров.

Если различия между значениями признака, полученными в разных условиях, случайны, то суммы рангов по разным условиям будут приблизительно равны. Но если значения признака изменяются в разных условиях каким-то закономерным образом, то в одних условиях будут преобладать высокие ранги, а в других - низкие. Суммы рангов будут достоверно различаться между собой. Эмпирическое значение критерия X2r  и указывает на то, насколько различаются суммы рангов. Чем больше эмпирическое значение X2r , тем более существенные расхождения сумм рангов оно отражает.

Если X2r равняется критическому значению или превышает его, различия статистически достоверны.

Гипотезы

Н0: Между показателями, полученными (измеренными) в разных условиях, существуют лишь случайные различия.

H1: Между показателями, полученными в разных условиях, существуют неслучайные различия.

Графическое представление критерия

Графически это будет выглядеть как "пучок" ломаных линий с изломами в одних и тех же местах. На Рис. 3.5 представлены графики изменения времени решения анаграмм" в ходе эксперимента по исследованию интеллектуальной настойчивости. Мы видим, что "сырые" значения пяти испытуемых дают довольно-таки "рассыпающийся  пучок, хо-

тя и с заметной тенденцией к излому в одной и той же точке - на анаграмме № 2. На Рис. 3.6 представлены графики, построенные по ранжированным данным того же исследований. Мы видим, что здесь "пучок" собран практически в одну жирную линию, с единственной выбивающейся из него кривой. В сущности, критерий X2r позволяет нам оценить, достаточно ли согласованно изгибается пучок при переходе от условия к условию. X2r тем больше, чем более выраженными являются различия.

Анаграмма 1:  Анаграмма 2;  Диаграмма 3:

КРУА                                АЛСТЬ         ИНААМШ

Рис. 3.5. Графики изменения времени решения трех последовательно предъявлявшихся анаграмм (в сек) у пяти испытуемых

Анагаамма 1:  Анаграмма 2:      Анаграмма 3: 

КРУА                                   АЛСТЬ              ИНААМШ

Рис. 3.6. Графики изменения ранжированных показателей времени решении анаграмм

Ограничения критерия

1. Нижний порог: не менее 2-х испытуемых (п>2), каждый из которых прошел не менее 3-х замеров (с>3).

2. При с=3, п<9, уровень значимости полученного эмпирического значения X2r определяется по Таблице V11-A Приложения 1; при с=4, n<4, уровень значимости полученного эмпирического значения X2r определяется по Таблице VII-Б Приложения 1; при больших количествах испытуемых или условий полученные эмпирические значения X2r сопоставляются с критическими значениями X2, определяемыми
по Таблице IX Приложения 1. Это объясняется тем, что X2r имеет распределение, сходное с распределением X2 . Число степеней свободы ν определяется по формуле:

ν=c-1,

где с - количество условий измерения (замеров).

Пример

На Рис. 3.5. представлены графики изменения времени решения анаграмм в эксперименте по исследованию интеллектуальной настойчивости (Сидоренко Е. В., 1984). Анаграммы нужно было подобрать таким образом, чтобы постепенно подготовить испытуемого к самой трудной - а фактически неразрешимой - задаче. Иными словами, испытуемый должен был постепенно привыкнуть к тому, что задачи становятся все более и более трудными, и что над каждой последующей анаграммой ему приходится проводить больше времени. Достоверны ли различия во времени решения испытуемыми анаграмм?

Таблица 3.5

Показатели времени решения анаграмм (сек.)

*Испытуемый Л-в так и не смог правильно решить анаграмму 2.

Проранжируем значения, полученные по трем анаграммам каждым испытуемым. Например, испытуемый К-в меньше всего времени провел над анаграммой 1 - следовательно, она получает ранг 1. На втором месте у него стоит анаграмма 3 - она получает ранг 2. Наконец, анаграмма 2 получает ранг 3, потому что она решалась им дольше двух других.

Сумма рангов по каждому испытуемому должна составлять 6. Расчетная общая сумма рангов в критерии определяется по формуле:

где n - количество испытуемых

   с - количество условий измерения (замеров).

В данном случае,

Таблица 3.6

Показатели времени решения анаграмм 1, 2, 3 и их ранги (n=5)

Общая сумма рангов составляет: 6+15+9=30, что совпадает с расчетной величиной.

Мы помним, что испытуемый Л-в провел 3 минуты и 55 сек над решением второй анаграммы, но так и не решил ее. Поскольку он решал ее дольше остальных двух анаграмм, мы имеем право присвоить ей ранг 3. Ведь назначение трех первых анаграмм - подготовить испытуемого к тому, что над следующей анаграммой ему, возможно, придется думать еще дольше, в то время как сам факт нахождения правильного ответа не так существен.

Сформулируем гипотезы.

Н0: Различия во времени, которое испытуемые проводят над решением трех различных анаграмм, являются случайными.

       Н1: Различия во времени, которое испытуемые проводят над решением трех различных анаграмм, не являются случайными.

Теперь нам нужно определить эмпирическое значение χ2r по формуле:

где с - количество условий;                

n - количество испытуемых;

Tj - суммы рангов по каждому из условий.

Определим χ2r для данного случая:

Поскольку в данном примере рассматриваются три задачи, то есть 3 условия, с=3. Количество испытуемых n=5. Это позволяет нам воспользоваться специальной таблицей χ2r , а именно Табл. VII-A Приложения 1. Эмпирическое значение χ2r = 8,4 при с=3, п=5 точно соответствует уровню значимости р==0,0085.

Ответ: Н0 отклоняется. Принимается Н1. Различия во времени, которое испытуемые проводят над решением трех различных анаграмм, неслучайны (р=0,0085).

Теперь мы можем сформулировать общий алгоритм действий по применению критерия χ2r.

АЛГОРИТМ 10

Подсчет критерия χ2r Фридиана

1. Проранжировать индивидуальные значения первого испытуемого, полученные им в 1-м, 2-м, 3-м и т. д. замерах.

2. Проделать то же самое по отношению ко всем другим испытуемым.

3. Просуммировать ранги по условиям, в которых осуществлялись замеры. Проверить совпадение общей суммы рангов с расчетной суммой.

4. Определить эмпирическое значение χ2r по формуле:

где с - количество условии;

n - количество испытуемых;

Tj - суммы рангов по каждому из условий.

5. Определить уровни статистической значимости для χ2r эмп:

а) при с=3, n<9 - по Табл. VII-A Приложения 1;

б) при с=4, n<4 - по Табл. VII-Б Приложения 1.

6. При большем количестве условий и/или испытуемых
количество степеней свободы ν по формуле:

ν=c—1,

где с - количество условии (замеров).

По Табл. IX Приложения 1 определить критические значения критерия χ2r  при данном числе степеней свободы ν.

Если χ2r эмп равен критическому значению χ2r  или превышает его, различия достоверны.