Биномиальный критерий  m

Назначение критерия m

Критерий предназначен для сопоставления частоты встречаемости какого-либо эффекта с теоретической или заданной частотой его встречаемости.

Он применяется в тех случаях, когда обследована лишь одна выборка объемом не более 300 наблюдений, в некоторых задачах - не больше 50 наблюдений.

Описание критерия

Биномиальный критерий m позволяет оценить, насколько эмпирическая частота интересующего нас эффекта превышает теоретическую, среднестатистическую или какую-то заданную частоту, соответствующую вероятности случайного угадывания, среднему проценту успешности в выполнении данного задания, допустимому проценту брака и т.п.

Биномиальный критерий незаменим, если налицо 2 условия:

а) обследована лишь одна выборка испытуемых, и нет возможности или смысла делить эту выборку на две части с целью дальнейшего применения критерия φ*, так как для нас по каким-то причинам важно исследовать частоту встречаемости признака в выборке в целом;

б)в обследованной выборке менее 30 испытуемых, что не позволяет нам применить критерий χ2.

Если в нашей выборке больше 30 испытуемых, мы все же можем использовать критерий m и тем самым сэкономить время на подсчете χ2.

Эмпирическая частота наблюдений, в которых проявляется интересующий нас эффект, обозначается как т. Это и есть эмпирическое значение критерия m.

Если mэмп равен или превышает mкр. то различия достоверны.

Гипотезы

H0: Частота встречаемости данного эффекта в обследованной выборке не превышает теоретической (заданной, ожидаемой, предполагаемой).

Н1: Частота встречаемости данного эффекта в обследованной выборке превышает теоретическую (заданную, ожидаемую, предполагаемую).

Графическое представление биномиального критерия

Критерии определяет, достаточно ли эмпирическая частота встречаемости признака превышает заданную, "перевешивает" ее. Можно представить себе это как взвешивание эмпирической и теоретической частот на чашечных весах (Рис. 5.4). Весы реагируют только на такие различия s весе, которые соответствуют по крайней мере минимальному уровню значимости р≤0,05.

Рис. 5.4. Сравнение эмпирической и теоретической частот как взвешивание на чашечных весах: а) эмпирическая частота не перевешивает теоретической, весы неподвижны; 6) эмпирическая частота "перевешивает* теоретическую, левая чаша весов опускается.

Ограничения биномиального критерия

1.  В выборке должно быть не менее 5 наблюдений. В принципе возможно применение критерия и при 2≤n<5, но лишь в отношении определенного типа задач (см. Табл. XV Приложения 1).

2.  Верхний предел численности выборки зависит от ограничении, определяемых пп.3-8 и варьирует в диапазоне от 50 до 300 наблюдений, что определяется имеющимися таблицами критических значений.

3.  Биномиальный критерий m позволяет проверить лишь гипотезу о том, что частота встречаемости интересующего нас эффекта в обследованной выборке превышает заданную вероятность Р. Заданная вероятность при этом должна быть: Р≤0,50.

4.  Если мы хотим проверить гипотезу о том, что частота встречаемости интересующего нас эффекта достоверно ниже заданной вероятности, то при Р=0,50 мы можем сделать это с помощью уже известного критерия знаков G, при Р>0,50 мы должны преобразовать гипотезы в противоположные, а при Р<0,50 придется использовать критерий χ2.

По Табл. 5.12 легко определить, какой из путей для нас доступен.

Таблица 5.12

Выбор критерия для сопоставлений эмпирической частоты с

теоретической при разных вероятностях исследуемого эффекта Р

и разных гипотезах.

Пояснения к Табл. 5.12

A)   Если заданная вероятность Р<0,50, а ƒэмп >ƒтеор (например, допустимый уровень брака - 15%, а в обследованной выборке получено значение в 25%), то биномиальный критерий применим для объема выборки 2≤n≤50.

Б) Если заданная вероятность Р<0,50, а ƒэмп<ƒтеор (например, допустимый уровень брака - 15%, а в обследованной выборке наблюдается 5% брака), то биномиальный критерий неприменим и следует применять критерий χ2 (см. Пример 2).

B) Если заданная вероятность Р=0,50, а ƒэмп>ƒтеор (например, вероятность выбора каждой из равновероятных альтернатив Р=0,50, а в обследованной выборке одна из альтернатив выбирается чаще, чем в половине случаев), то биномиальный критерий применим для объема выборки 5≤n≤300.

Г) Если заданная вероятность Р=0,50, а ƒэмп<ƒтеор (например, вероятность выбора каждой из равновероятных альтернатив Р=0,50, а в обследованной выборке одна из альтернатив наблюдается реже, чем в половине случаев), то вместо биномиального критерия применяется критерий знаков G, являющийся "зеркальным отражением" биномиального критерия при Р=0,50. Допустимый объем выборки: 5≤n≤300.

Д) Если заданная вероятность Р>0,50, а ƒэмп>ƒтеор (например, среднестатистический процент решения задачи - 80/о, а в обследованной выборке он составляет 95%), то биномиальный критерий неприменим и следует применять критерий χ2  (см. Пример 3).

Е) Если заданная вероятность Р>0,50, а ƒэмп<ƒтеор (например, среднестатистический процент решения задачи – 80%, а в обследованной выборке он составляет 60%), то биномиальный критерий применим при условии, что в качестве "эффекта" мы будем рассматривать более редкое событие - неудачу в решении задачи, вероятность которого Q=l—Р=1—0,80=0,20 и процент встречаемости в данной выборке: 100%—75%=25%. Эти преобразования фактически сведут данную задачу к задаче, предусмотренной п. А. Допустимый объем выборки: 5≤n≤300 (см. пример 3).

Пример 1

В процессе тренинга сенситивности в группе из 14 человек выполнялось упражнение "Психологический прогноз". Все участники должны были пристально вглядеться в одного и того же человека, который сам пожелал быть испытуемым в этом упражнении. Затем каждый из участников задавал испытуемому вопрос, предполагавший два заданных варианта ответа, например: "Что в тебе преобладает: отстраненная наблюдательность или включенная эмпатия?" "Продолжал бы ты работать или нет, если бы у тебя появилась материальная возможность не работать?" "Кто тебя больше утомляет - люди нахальные или занудные?" и т. п. Испытуемый должен был лишь молча выслушать вопрос, ничего не отвечая. Во время этой паузы участники пытались определить, как он ответит на данный вопрос, и записывали свои прогнозы. Затем ведущий предлагал испытуемому дать ответ на заданный вопрос. Теперь каждый участник мог определить, совпал ли его прогноз с ответом испытуемого или нет. После того, как было задано 14 вопросов (13 участников + ведущий), каждый сообщил, сколько у него получилось точных прогнозов. В среднем было по 7-8 совпадений, но у одного из участников их было 12, и группа ему спонтанно зааплодировала. У другого участника, однако, оказалось всего 4 совпадения, и он был очень этим огорчен.

Имела ли группа статистические основания для аплодисментов? Имел ли огорченный участник статистические основания для грусти?

Начнем с первого вопроса.

По-видимому, группа будет иметь статистические основания для аплодисментов, если частота правильных прогнозов у участника А превысит теоретическую частоту случайных угадываний. Если бы участник прогнозировал ответ испытуемого случайным образом, то, в соответствии с теорией вероятностей, шансы случайно угадать или не угадать ответ на данный вопрос у него были бы равны P=Q=0,5. Определим теоретическую частоту правильных случайных угадывании:

где n - количество прогнозов;

Р - вероятность правильного прогноза при случайном угадывании.

ƒтеор =14*0,5=7

Итак, нам нужно определить, "перевешивают" ли 12 реально данных правильных прогнозов 7 правильных прогнозов, которые могли бы быть у данного участника, если бы он прогнозировал ответ испытуемого случайным образом.

Требования, предусмотренные ограничением 3, соблюдены: Р=0.50; ƒэмп>ƒтеор. Данный случай относится к варианту "В" Табл. 5.12.

Мы можем сформулировать гипотезы.

H0: Количество точных прогнозов у участника А не превышает частоты, соответствующей вероятности случайного угадывания.

Н1: Количество точных прогнозов у участника А превышает частоту, соответствующую вероятности случайного угадывания.

По Табл. XIV Приложения 1 определяем критические значения критерия m при n=14, Р=0,50:

Мы помним, что за эмпирическое значение критерия m принимается эмпирическая частота:

mэмп=ƒэмп =12

mэмп≥ mкр   (р≤0,01)

Построим "ось значимости".

Зона значимости простирается вправо, в область более высоких значений m (более "весомых", если использовать аналогию с весами), а зона незначимости - в область более низких, "невесомых", значений т.

Ответ: H0 отвергается. Принимается H1. Количество точных прогнозов у участника А превышает (или по крайней мере равняется) критической частоте вероятности случайного угадывания (р≤0,01). Группа вполне обоснованно ему аплодировала!

Теперь попробуем ответить на второй вопрос задачи.

По-видимому, основания для грусти могут появиться, если количество правильных прогнозов оказывается достоверно ниже теоретической частоты случайных угадываний. Мы должны определить, 4 точных прогноза участника Б - это достоверно меньше, чем 7 теоретически возможных правильных прогнозов при случайном угадывании или нет?

В данном случае Р=0,50; ƒэмп<ƒтеор.  В соответствии с ограничением 4, в данном случае мы должны применить критерий знаков, который по существу является зеркальным отражением или "второй стороной" одностороннего биномиального критерия (вариант "Г" Табл. 5.12).

Вначале нам нужно определить, что является типичным событием для участника Б. Это неправильные прогнозы, их 10. Теперь мы определяем, достаточно ли мало у него нетипичных правильных прогнозов, чтобы считать перевешивание неправильных прогнозов достоверным.

Сформулируем гипотезы.

H0: Преобладание неправильных прогнозов у участника Б является случайным.

       Н1: Преобладание неправильных прогнозов у участника Б не является случайным.

По Табл. V Приложения 1 определяем критические значения критерия знаков G для n=14:

Построим "ось значимости". Мы помним, что в критерии знаков зона значимости находится слева, а зона незначимости - справа, так как чем меньше нетипичных событий, тем типичные события являются более достоверно преобладающими.

Эмпирическое значение критерия G определяется как количество нетипичных событий. В данном случае:

GЭМП=4

GЭМП > GТЕОР

Эмпирическое значение критерия G попадает в зону незначимости.

Ответ: H0 принимается. Преобладание неправильных прогнозов у участника Б является случайным.

Участник Б не имел достаточных статистических оснований для огорчения. Дело, однако, в том, что психологическая "весомость" отклонения его оценки значительно перевешивает статистическую. Всякий практикующий психолог согласится, что повод для огорчения у участника Б все же был.

Важная особенность биномиального критерия и критерия знаков состоит в том, что они превращают уникальность, единственность и жизненную резкость произошедшего события в нечто неотличимое от безликой и всепоглощающей случайности. Учитывая это, лучше использовать биномиальный критерий для решения более отвлеченных, формализованных задач, например, для уравновешивания выборок по признаку пола, возраста, профессиональной принадлежности и т. п.

При оценке же личностно значимых событий оказывается, что статистическая сторона дела не совпадает с психологической больше, чем при использовании любого из других критериев.

Пример 2

В тренинге профессиональных наблюдателей допускается, чтобы наблюдатель ошибался в оценке возраста ребенка не более чем на 1 год в ту или иную сторону. Наблюдатель допускается к работе, если он совершает не более 15% ошибок, превышающих отклонение на 1 год. Наблюдатель Н допустил 1 ошибку в 50-ти попытках, а наблюдатель К - 15 ошибок в 50-ти попытках. Достоверно ли отличаются эти результаты от контрольной величины?

Определим частоту допустимых ошибок при n = 50:

ƒтеор =n*P=50*0.15=7.5

Для наблюдателя Н ƒэмп<ƒтеор, для наблюдателя К ƒэмп >ƒтеор.

Сформулируем гипотезы для наблюдателя Н.

H0: Количество ошибок у наблюдателя Н не меньше, чем это предусмотрено заданной величиной.

H1: Количество ошибок у наблюдателя Н меньше, чем это предусмотрено заданной величиной.

В данном случае Р=0,15<0,50; ƒэмп<ƒтеор.

Этот случай попадает под вариант Б Табл. 5. 12. Нам придется применить критерий χ2, сопоставляя полученные эмпирические частоты ошибочных и правильных ответов с теоретическими частотами, составляющими, соответственно, 7,5 для ошибочного ответа и (50-7,5)=42,5 для правильного ответа. Подсчитаем χ2 по формуле, включающей поправку на непрерывность4:

4.Поправка на непрерывность вносится во всех случаях, когда признак принимает всего два значения и число степеней свободы поэтому равно 1 (см. параграф 4.2)

По Табл. IX Приложения 1 определяем критические значения χ2 при V=1:

χ2эмп> χ2кр (р≤0,05)

Ответ: Н0 отвергается. Количество ошибок у наблюдателя Н меньше, чем это предусмотрено заданной величиной (р≤0,05).

Сформулируем гипотезы для наблюдателя К.

H0: Количество ошибок у наблюдателя К не больше, чем это предусмотрено заданной величиной.

Н1: Количество ошибок у наблюдателя К больше, чем это предусмотрено заданной величиной.

В данном случае Р=0,15<0,5; ƒэмп >ƒтеор. Этот случай подпадает под вариант А Табл. 5.12. Мы можем применить биномиальный критерий, поскольку n=50.

      По Табл. XV Приложения 1 определяем критические значения при n=50, P=15, Q=0,85:

mэмп =fэмп =15

mэмп >mкр  (р≤0,05)

Ответ: H0 отвергается. Количество ошибок у наблюдателя К больше, чем это предусмотрено заданной величиной (р<0,05).

Пример 3

В примере 1 параграфа 5.2 мы сравнивали процент справившихся с экспериментальной задачей испытуемых в двух группах. Теперь мы можем сопоставить процент успешности каждой группы со среднестатистическим процентом успешности. Данные представлены в Табл. 5.13.

Таблица 5.13.

Среднестатистический показатель успешности в решении этой задачи - 55%. Определим теоретическую частоту правильных ответов для групп 1 и 2:

ƒтеор 1 = n1*P=20*0.55=11.00

ƒтеор 2 = n2*P=25*0.55=13.75

Для группы 1, следовательно, Р=0,55>0,50; ƒэмп=12>ƒтеор Этот случай соответствует варианту "Д" Табл. 5.12. Мы должны были бы применить критерий χ2, но у нас всего 20 наблюдений: n<30. Ни биномиальный критерий, ни критерий χ2 неприменимы. Остается критерий ф* Фишера, который мы сможем применить, если узнаем, сколько испытуемых было в выборке, по которой определялся среднестатистический процент.

Далее, для группы 2: Р=0,55>0,50; ƒэмп=10<ƒтеор. Этот случай соответствует варианту "Е" Табл. 5.12. Мы можем применить биномиальный критерий, если будем считать "эффектом" неудачу в решении задачи. Вероятность неудачи Q=l—Р=1—0,55=0,45. Новая эмпирическая частота составит: ƒэмп =25-10=15.

Сформулируем гипотезы.

H0. Процент неудач в обследованной выборке не превышает заданного процента неудач.

        H1: Процент неудач в обследованной выборке превышает заданный процент неудач.

По Табл. XV Приложения 1 определяем критические значения для n=25, P=0,45, Q=0.55 (мы помним, что Р и Q поменялись местами):

mэмп =fэмп =15

mэмп <mкр

Ответ: H0 принимается. Процент неудач в обследованной выборке не превышает заданного процента неудач.

Сформулируем общий алгоритм применения критерия m.

АЛГОРИТМ 18

Применение биномиального критерия m

1. Определить теоретическую частоту встречаемости эффекта по формуле:

ƒтеор =n*Р,

где n - количество наблюдений в обследованной выборке;

Р - заданная вероятность исследуемого эффекта.

По соотношению эмпирической и теоретической частот и заданной вероятности Р определить, к какой ячейке Табл. 5,12 относится данный случай сопоставлений.

Если биномиальный критерий оказывается неприменимым, использовать тот критерий, который указан в соответствующей ячейке Табл. 5.12

2.   Если критерий m применим, то определить критические значения m по Табл. XVI (при Р=0,50) или по табл. XV (при Р<0,50) для данных n и Р,

3.   Считать тэмп  эмпирическую частоту встречаемости эффекта в об
следованной выборке: тэмп =ƒэмп

4.   Если тэмп , превышает критические значения, это означает, что эмпирическая частота достоверно превышает частоту, соответствующую заданной вероятности.