После того как учащиеся познакомятся с элементарными понятиями теории вероятностей: события, достоверные и невозможные события, противоположное событие, несовместные события, независимые события – и научатся вычислять вероятность события на основе классического определения вероятности, полезно потренировать школьников в употреблении терминов, относящихся так называемой алгебре событий. При этом имеет смысл установить связь между алгеброй событий и алгеброй множеств. Понятие множеств учащимся интуитивно ясно. Не вызывает трудности и тренировка в операциях над множествами: включение, объединение, пересечение, дополнение. Представления об этих операциях лежат в основе всей математики и, в частности, в основе теории вероятностей. Достаточно посвятить им одно - два занятия, и учащиеся уже хорошо ориентируются в операциями над множествами. Теоретико-множественные представления можно призвать на помощь при обучении языку алгебры событий .
Для того чтобы установить параллель между языком теории множеств и языком алгебры событий, полезно составить вместе с учащимися таблицу, которая приведена ниже.
С помощью таблицы и рисунка целесообразно разобрать с учащимися задания по тематике, описывающей ряд однотипных испытаний. Но сначала необходимо ввести обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем. Представим себе три одинаковые урны, в каждой из которых лежат неразличимые на ощупь белые и черные шары.
|
Обозначения
|
Интерпретация
Теории множеств Теории вероятностей |
|
|
Ω |
Элемент, точка |
Исход, элементарное событие |
|
|
Универсальное множество, т.е. множество всех рассматриваемых точек |
Достоверное событие исходов, т.е. множество всех элементарных событий Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к
профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные
корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.
|
|
Ø |
Пустое множество |
Невозможное событие |
|
A,B |
Подмножество универсального множества |
Случайное событие |
|
A=B |
Подмножества А и В равные |
События А и В равносильные |
|
A |
Объединение множеств А и В, т.е. множество точек, входящих или в А, или и В |
Событие, состоящее в том, что произошло А или В |
|
A+B |
Сумма множеств, т.е. объединение непересекающихся множеств |
Событие, состоящее в том, что произошло одно из несовместных событий либо А, либо В |
|
A |
Пересечение множеств А и В, т.е. множество точек, входящих и в А, и в В |
Событие, состоящее в том, что одновременно произошли события А и В |
|
A |
Множество А и В не пересекаются |
События А и В несовместны( не могут наступать одновременно) |
|
A\B |
Разность множеств А и В, т.е. множество точек, входящих в А, но не входящих в В |
Событие, состоящее в том, что произошло А, но не произошло В |
|
A∆B |
A∆B=(A\B) |
Событие, состоящее в том, что произошло одно из событий А или В, но не оба одновременно |
B;ABРассматриваются такие события (гипотезы):
|
AH1
|
H2 A AH2 |
H3 AH3 |
W H1H1 - выбрали первую урну,
H2 - выбрали вторую урну, A - вынули из урны белый шар,
H3 – выбрали третью урну, 
- вынули из урны черный шар
Задача 1. Запишите с помощью символов следующие события.
1) выбрали либо первую, либо вторую урну;
2) выбрали какую – то одну урну;
3) выбрали не первую урну;
4) белый шар вынули из второй урны;
5) черный шар вынули из третей урны;
6) белый шар вынули не из первой урны;
7) из какой – то урны выбрали черный шар.
Ответ. 1) H1+H2;
2) H1+H2+H3;
3)
= H2+H3;
4) A H2;
5) 
;
6) A =A(H2+ H3);
7) ( H1+H2+H3).
Задача 2. Дайте словесное толкование следующим событиям:
1. а) A H1; б) H2; в) 
.
2. а) AH1+AH2+AH3; б) H1+H2+H3.
3. а) (A\H1) 
(H1\A); б)(\H2) (H2\).
Ответ. 1. а) Белый шар вынули из первой урны;
б) черный шар вынули из второй урны;
. в) черный шар вынули не из третьей урны
2. а) Белый шар вынули либо из первой, либо из второй, либо из третьей урны;
б) черный шар вынули либо из первой, либо из второй, либо из третьей урны;
3. а) Либо вынули белый шар не из первой урны, либо из первой урны вынули черный шар;
б) либо вынули черный шар не из второй урны, либо из второй извлекли белый шар.
Задача 3. установите, верны ли равенства:
а) H1+H2+H3=W;
б) А+ =W;
в) А= Ø – и дайте им словесное толкование.
Ответ. Все равенства верны.
а) выбрали либо первую, либо вторую, либо третью урну. По условию испытания это событие достоверное;
б) достоверное, что вынули либо черный, либо белый шар;
в) вынутый шар не может быть одновременно и белым и черным.
На этом этапе, когда язык алгебры событий учащимися достаточно усвоен, вводятся теоремы сложения и умножения вероятностей, после которых следуют приведенные ниже упражнения.
Задача 4. Известно, что в каждой из трех урн число белых шаров равно числу черных (например, см. рисунок). Подсчитайте указанные ниже вероятности при условии, что шар извлекается наугад из наугад выбранной урны.
1. P(H1), P(H2), P(H3).
2. P(H1+H2+H3).
3. P(A), P().
4. P(AH3),P(H1).
Ответ. 1. P(H1)= P(H2)= P(H3)=
- вероятность того, что выбрана первая (вторая, третья) урна.
2. P(H1+H2+H3)= +==1 – вероятность того, что выбрана одна из урн, равна вероятности достоверного события, т.е. 1.
3.P(A)= P()=
- вероятность того, что будет вынут белый (черный) шар.
4. P(AH3)=P(H1)= *=
вероятность того, что будет извлечен белый шар из третьей урны (черный шар из первой урны).
Следующий этап - изучение условной вероятности, т.е. вероятности события А, если известно, что оно может наступить, если прежде произошло одно из событий H1,H2,H3.
В этом месте также необходимо потренироваться в правильном употреблении терминов и символов.
Задача 5. Запишите словами, в чем состоят указанные ниже события, и вычислите их вероятность.
а) A\H1; б) \H2; в) \.
Ответ. а) выбрали первую урну, а затем из нее извлекли белый шар,
P(A\H1)=
б) выбрали вторую урну, а затем из нее вынули черный шар,
P(\H2)=;
в) выбрали первую либо вторую урну, а затем из какой –то из них достали черный шар,
P(\)=
Изучив понятие условной вероятности, есть возможность перейти к формуле полной вероятности.
Вероятность события А, которое может наступить при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) H1,H2,H3, образующих полную систему событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
Р(А)=P(H1)P(A\H1)+P(H2)P(А\H2)+P(H3)P(А\H3) –
формула полной вероятности.
Рассмотренная проблематика позволяет связать ее с более сложным вопросом, к которому обычно приступают много позже. Речь идет о формуле Байеса. Объединяя изучения формулы полной вероятности и формулы Байеса, преподаватель достигает настоящего укрупнения дидактических единиц и получает возможность лучше разъяснить ситуации, связанные с обеими формулами. В самом деле, формула полной вероятности употребляется для подсчета вероятности предложения о том, что событие А может наступить, а формула Байеса применяется тогда, когда событие А наступило.
Пусть известно, что:
а) событие А может наступить при условии появления одного из событий H1,H2,H3, образующих полную систему событий;
б) известны условные вероятности P(A\H1), P(А\H2), P(А\H3) события А относительно всех событий Н1,Н2,Н3.
В результате испытание оказалось, что событие А произошло. Какова вероятность того, что оно наступило вместе с событием Нi, где I=1,2,3. другими словами, найти вероятность P(H1\A), P(H2\ А), P(H3\ А).
Эту задачу решает формула Байеса:
P(H1\A)=
=
, где I=1,2,3.
Итак, показанная линия изучения основ теории вероятностей на базе средней школы, на этой теме завершается. Материал параграфов 1,2,3 может быть рассмотрен в классе со всеми учащимися, а 4 параграф при более углубленном изучении – на кружке или факультативе.
Поможем написать любую работу на аналогичную тему