Параллельный перенос

Определение. Пусть — некоторый вектор плоскости. Преобразование, при котором каждой точке А плоскости ставится в соответствие такая точка А' этой же плоскости, что АА' =, называется параллельным переносом и обозначается: Т или же .

При параллельном переносе: 1) прямая отображается на параллельную ей прямую; 2) сохраняются расстояния между точками. Докажем это.

Если А' (х'; у') — образ точки А (х; у), то по определению, АА' = у. Но вектор АА' имеет при наших обозначениях координаты х' – x и у' – у. Следовательно, если = (m; n), то х' – х = m, у' – у = n. Значит, координаты х', у' образа выражаются через координаты х, у прообраза при параллельном переносе = (m; n) следующими формулами:

Пусть g – некоторая прямая, заданная уравнением ax + bу + с = 0. Подставляя в это уравнение х' – m вместо х и у' – n вместо у, получим:

а (х' – m) + b(y' – n) + с = 0.

Следовательно, координаты x', y' связаны зависимостью, выражаемой уравнением первой степени:

ax' + by' + (с – am – bn) = 0.

Это и означает, что множество образов точек прямой g есть также некоторая прямая g'. При этом коэффициенты при переменных в уравнениях прямых соответственно равны, так что прямые g и g' параллельны.

Если А (х; y), В (х; y) —две произвольные точки и А'(х'; y') и В'(х'; y') – их образы, то