Гомотетия

Определение. Гомотетией с центром О и коэффициентом k0 (Н) называется отображение плоскости на себя, при котором образом произвольной точки М является такая точка М', что =k.

Исходя из этого определения, можно установить ряд свойств гомотетии. Остановимся на некоторых из них.

1.    Гомотетия есть взаимно однозначное отображение.

Действительно, если задана точка М, то при заданных центре О и коэффициенте k однозначно определяется вектор =k, а следовательно, и точка М'. Обратно: если задана точка М', центр О и коэффициент k, то однозначно определяется вектор , а значит, и вектор =, т.е. и точка М.

2. Точка и ее образ в данной гомотетии лежат на одной прямой с центром гомотетии.

Это следует из коллинеарности векторов  и . При этом, если k>0, векторы  и  сонаправлены, т.е. точка М и точка М' – ее образ – располагаются по одну сторону от центра гомотетии; в этом случае гомотетию называют прямой. Если же k<0, то точки М и М' располагаются по разные стороны от центра гомотетии; в этом случае гомотетию называют обратной.

3. Гомотетия сохраняет коллинеарность точек.

Действительно, пусть точки А, В, С, лежат на одной прямой, точки А', В', С' – образы точек А, В, С в некоторой гомотетии Н.

Так как, по определению,

то

Пусть  (векторы  и  коллинеарны), тогда из полученных выше равенств следует

т. е. векторы  также коллинеарны. Это означает, что точки А', В' и С' лежат на одной прямой.

          4. Если гомотетия Н преобразует точки А, В соответственно в точки А', B', то

                                       А'B'=kAB.

          Это следует из того, что (как было показано при доказательстве свойства 3),          .

          5. Если гомотетия Н преобразует точки А, В соответственно в точки А', B', то

                                                 АВ || A'B'.

Это также непосредственно вытекает из соотношения .

6. Множество гомотетий с данным центром О образуют группу.

Действительно:

1) Композиция гомотетии Н и гомотетии Н есть гомотетия Н, потому что из  следует, что .

2) В множестве гомотетий с данным центром О имеется тождественное преобразование.

Действительно, при гомотетии Н получим:  и, следовательно, образ М' совпадает с прообразом М, т. е. Н - тождественное преобразование.

3) Преобразование, обратное гомотетии Н, есть гомотетия Н, потому что из соотношения  следует соотношение .