Нужна помощь в написании работы?

          При решении многих задач на построение применяется метод подобия. Суть которого заключается в следующем: сначала строится фигура подобная данной, затем эта фигура увеличивается (уменьшается) в нужном отношении (т.е. строится подобная фигура), удовлетворяющая условию задачи.

Процесс обучения применению подобия к решению задач на построение целесообразно разбить на четыре этапа: подготовительный, ознакомительный, формирующий умение, совершенствующий умение. Каждый этап имеет свою дидактическую цель, которая достигается, когда учащиеся выполняют специально составленные задания.

          Дидактическая цель подготовительного этапа – сформировать у учащихся умения: выделять данные, определяющие форму фигуры, множество пар подобных между собой фигур; строить фигуру по данным, определяющим форму; переходить от построенной фигуры к искомой.

После изучения первого признака подобия треугольников можно предложить следующий набор заданий:

          Постройте треугольник по двум углам. Сколько решений имеет задача? Какие элементы определяют форму построенных треугольников?

          Назовите подобные треугольники на рис.35.

Известны следующие элементы треугольника: а) углы в 75°и 25°;  б) высота 1,5 см; в) углы в 75° и 25°, высота 1,5 см. какие из этих данных определяют единственную фигуру на рис.35?

Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

Подобны ли треугольники АВС и АВС на рис.36, если АС÷ïАС? если они подобны, то каков их коэффициент подобия?

Какие углы определяют форму треугольников на рис.36?

Можно ли будет определить размеры одного из треугольников на рис.36, если станут известны следующие данные: а) углы при основании треугольника; б) высоты треугольника; в) сторона и углы при основании?

На рис.31 равные углы помечены одинаково. Кроме того, NР=NP, МР=МР. Как расположены прямые NP и NP?

Каким отношением связаны треугольники MNP и MNP и их биссектрисы?

Набор заданий, предъявляемых учащимся после изучения 2 и 3 признаков подобия треугольников, составляются аналогично. Однако при переходе от данного признака к следующему вопросы несколько усложняются, а именно: расположение треугольников на рисунках меняется, удаляясь от стандартного, варьируется набор элемента, определяющего единственную фигуру. Задания, например, могут быть такими:

1.    Подобны ли треугольники АВС и АВС, если: а) АВ=5см, ВС=7см,

В=30º, АВ=10см, ВС=14см, В=60º; б) АВ=5см, ВС=7см, В=30º, АВ=10см, ВС=14см, В=30º; в) АВ=3см, ВС=5см, СА=7см, АВ=4,5см, ВС=7,5см, СА=10,5см; г) АВ=1,7см, ВС=3см, СА=4,2см, АВ=34дм, ВС=60дм, СА=84дм?

     2. В треугольнике АВС с острым углом С проведены высоты АЕ и ВD (рис. 35). Докажите, что АВС подобен ЕDC.

     3. Докажите, что у подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны.

Дидактическая цель ознакомительного этапа в том, чтобы разъяснить учащимся структуру процесса построения методом подобия.

Объяснение начинается с задачи.

Задача 1. Построить треугольник по двум данным углам  и  и биссектрисе длины d, проведенной из вершины третьего угла.

Анализируя задачу с учащимися, учитель предлагает задания – вопросы, ответы на которые кратко фиксируются на доске. Вопросы могут быть такими:

1.    Какие данные определяют форму искомого треугольника?

2.    Какие данные определяют размеры искомого треугольника?

3.    Сколько треугольников можно построить построение двум углам? Какими будут построение форме все построенные треугольники?

4.    Какой отрезок нужно провести в треугольнике, подобном искомому?

5.    Как построить искомый треугольник?

Ответы на вопросы сопровождаются выполнением на доске чертежа от руки (рис. 38).

Далее составляется план построения и выполняется само построение. Запись построения у учащихся в тетрадях может быть такой:

а) D АВС: ÐА=, ÐВ=;

б) построить биссектрису угла С в треугольнике АВС,

в) построить СN=d, NCD;                           

г) через точку N провести прямую ,  ÷ï АВ;                           

д) АC=А, ВС=В;

е) DАВС – искомый: ÐА=, ÐВ=(так как DАВС¥D АВС по 1 признаку) и СN=d по построению.                                                                                Дидактическая цель этапа, формирующего умение решать задачи рассматриваемого вида, ясна уже из его названия. Основная форма деятельности на этом  этапе – индивидуально-поисковая. Она завершается обобщающей беседой.

Приведем несколько примеров задач, которые можно предложить на данном этапе.

Задача. Внутри угла АОВ задана точка F. Построить на стороне ОА точку М, одинаково удаленную от F и от стороны ОВ

Решение. 1. Анализ. Обратимся к рисунку 39. Пусть точка М построена, тогда MF=MP. Это означает, что искомая точка М – есть центр окружности g радиуса МF с центром М, касающуюся стороны ОВ в точке Р.

Если мы возьмем на ОА произвольную точку М и опустим ^МР на СВ и найдем F пересечения окружности g с центром М радиуса МР с прямой ОF, то DМFP будет подобен DМFР. Отсюда вытекает требуемое построение.

2. Построение. Проводим ОF, берем на СА произвольную точку М и опускаем ^МР на СВ. Проводим окружность g радиуса МР с центром в точке М. Пусть F - точка пересечения этой окружности с ОF. Проводим FM и затем проводим прямую через точку F÷ïFM. Точка М пересечения этой прямой с ОА – искомая.

3. Доказательство. Очевидно из проведенного анализа.

4. Исследование. Задача имеет 2 решения. Это следует из того, что окружность пересекается с ОF в 2-х точках.

Задача. Построить треугольник по 2 углам и периметру.

        Решение. 1. Анализ. Пусть  и y - данные углы и Р – периметр искомого треугольника (рис.40). Допустим, что искомый треугольник построен,

тогда, если мы рассмотрим какой-либо DАВС, подобный искомому, отношение периметра Р DАВС к периметру Р DАВС равно отношению сторон

АС и АС.    

2. Построение. Построим DАВС подобный искомому. На луче АВ, отложим отрезки АD=Р и АD, затем соединим точку D и С, и через точку D проведем прямую ÷ï DC.

Пусть С – точка пересечения прямой с лучом АС. Через точку С проведем прямую ÷ï СВ и обозначим В точку пересечения этой прямой с AD, тогда DАВС – искомый.

3. Доказательство. Очевидно, что DAСD подобен DАСD, поэтому . По соотношению сторон равно отношению периметров подобных DАВС и DАВС, поэтому периметр DАВС=Р, следовательно, DАВС – искомый.

4. Исследование. Так как сумма любых двух углов треугольника <180°, то условие +y<180° является необходимым условием для данного построения оно и достаточно. Затем указанным выше способом строится искомый DАВС. Такой треугольник единственный, ибо любой другой с такими же данными будет иметь периметр Р и следовательно, будет подобен построенному с коэффициентом подобия равным 1, а два подобных треугольника с одним коэффициентом равны.

Задача. Дан ÐАОВ и точка М, расположенная во внутренней области этого угла. Построить окружность g, проходящую через точку А касающуюся сторон угла АОВ.

Решение. 1. Анализ. Пусть ÐАОВ – данный и точка М, расположена во внутренней области угла (рис. 41). Проведем еще одну окружность g, касающуюся сторон ÐАОВ. Обозначим, М - точку пересечения окружности g с прямой ОМ и рассмотрим DОМN и ОМN (N и Nцентры окружности g и g). Эти треугольники подобны по двум углам, поэтому построение искомой окружность можно провести следующим образом:

2. Построение. Так как центр искомой окружности лежит на биссектрисе ÐАОВ, то проводим биссектрису угла. Далее, возьмем здесь же точку N и построим окружность g с центром N, касающуюся

ÐАОВ. Затем проводим прямую СМ и обозначим через М- точку пересечения прямой с окружностью (таких точек две - М и М - берем одну из них). Проводим прямую МN и ÷ïей прямую через точку М. Тогда N -пересечение прямой с биссектрисой угла и есть центр искомой окружности, а ее радиус равен МN. Проведем ее.

3. Доказательство. По построению окружность g подобна g, О – центр подобия. Это следует из подобия треугольников ОМN и ОМN,поэтому раз окружность g касается сторон угла, то и окружность g будет касаться сторон угла .

4. Исследование. Задача имеет два решения, т.к. ОМ пересекается с окружностью g в двух точках М и М, каждой из которых будет соответствовать своя окружность, проходящая через точку М и

касающаяся сторон ÐАОВ.             

Дидактической целью этапа, совершенствующего умение решать задачи типа рассмотренных, является перенос сформированного умения на более сложные задачи, в частности на следующие ситуации: искомая фигура занимает определенное положение по отношению к данным точкам или линиям, при этом устранение одного из условий задачи приводит к системе подобных или гомотетичных фигур. Приведем пример такой задачи.

Задача. В данный треугольник впишите квадрат так, чтобы две его вершины лежали на одной стороне треугольника, а две другие – на двух других сторонах.

Задачи, соответствующие целям этого этапа, исключены из числа задач обязательного уровня. Поэтому они предлагаются только хорошо успевающим школьникам. Главное внимание на этом этапе уделяется индивидуально-поисковой деятельности учащихся.


Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость
Поделись с друзьями