Принятие решений с учетом риска. Принятие решений в условиях неопределенности.

Принятие решений с учетом риска.

В общем виде постановка и решение задачи оптимизации решений, применяемых в условиях риска представляется следующим образом:

Имеется m возможных решений Р1, Р2, Р3…Рm, условия обстановки точно не известны, однако о них можно сделать n предположений О1,О2, О3...Оn. Результат, т.н. выигрыш – Аij, соответствующий каждой паре в сочетании решения P и обстановки O, может быть представлен в виде таблицы эффективности:

Выбор решения в условиях риска предполагает, что вероятности возможных вариантов обстановки известны. Эти вероятности определяются на основе статических данных, а при их отсутствии – на основе экспертных оценок. Наличие выигрышей при различных условиях обстановки позволяет определить потери, в результате принятия неоптимальных решений, т.е. в случаях, когда ожидаемое условие обстановки не произошло, потому что наступление этой обстановки имеет вероятностный характер.

При выборе решения в качестве критерия риска используется показатель    R = Hn * P

Предпочтение отдается решению, которое имеет наименьший средневзвешенный показатель риска

Пример

Предприятие переходит на выпуск новых видов продукции. При этом возможны 4 решения Р1, Р2, Р3 и Р4, каждому из которых соответствует определенный вид продукции.

Результаты принятых решений существенно зависят от обстановки, которая в значительной мере не определена.

Допустим варианты обстановки характеризуют структуру спроса на новую продукцию, которая может быть 3-х видов - О1, О2, О3. Выигрыши, характеризующие относительную величину результата, соответствующие каждой паре сочетаний решений Р и обстановки О, представлены в таблице 1:

Необходимо найти каждую линию поведения, при которой решение Р по сравнению с другими является наименее опасным.

Для нахождения таких решений применяется специальный показатель потерь. Потери рассчитываются как разность между ожидаемым (,,,,,,,,) при наличии точных данных обстановки и результат которой может быть достигнут, если эти данные (,,,,,,,,).

В общем случае потери Hij соответствующие каждой паре сочетаний решений Р и обстановки О, определяются как разность между максимальным выигрышем и выигрыш по конкретному решению при данной обстановке. Например, при обстановке О1 максимальный выигрыш соответствует 0,8. Выигрыши по решениям соответствуют 0,25, 0,75, 0,35, 0,8. Тогда при обстановке О1 потери по каждому решению составят:

Для 1-го решения Н 11 = 0,8 – 0,25 = 0,55      Для 3-го решения Н 31 = 0,8 – 0,35 = 0,45                                                                                                                                                                                Для 2-го решения Н 21 = 0,8 – 0,75 = 0,05      Для 4-го решения Н 41 = 0,8 – 0,8 = 0

Полученные таким образом потери для всех решений при всех вариантах обстановки представлены в таблице 2:

Предположим, вероятность наступления 1 варианта обстановки Р1 = 0,5, 2 варианта обстановки  Р2 = 0,3, 3 варианта обстановки  Р3 = 0,2, тогда показатель риска для каждого из решений:

R1 = 0,55 * 0,5 + 0,47 * 0,3 + 0 * 0,2 = 0,416  ;   R2 = 0,5 * 0,05 + 0,62 * 0,3 + 0,1 * 0,2 = 0,231                                                         R3 = 0,45 * 0,5 + 0 * 0,3 + 0,3 * 0,2 = 0,285     ;   R4 = 0 * 0,5 + 0,72 * 0,05 + 0 * 0,2 = 0,1186

Следовательно, решение R1 для данных условий явл. наиболее рискованным, а решение R4 – наименее рискованным.

Принятие решений в условиях неопределенности.

Когда вероятности возможных вариантов обстановки неизвестны, решение принимается в условиях неопределенности. В этом случае могут быть использованы некоторые критерии выбора, которые зависят от характера решаемой задачи, от поставленных целей и ограничений, от склонности к риску лиц, принимающих решение.

К числу критериев, которые используются при принятии решения в условиях неопределенности, относятся:

1. Принцип недостаточного обоснования Лапласа – используется в случае, если можно предположить, что любой из вариантов обстановки не более вероятен, чем другой. Тогда вероятности обстановки можно считать равными и производить выбор решения также, как в условиях риска, т.е. по минимальному средневзвешенному показателю риска

Рассмотрим выбор варианта в условиях неопределенности с использованием принципа Лапласа на исходных данных предыдущего примера.

При учете 3-х вариантов обстановки n = 3, вероятность каждого варианта составляет 1/3 = 0,33, тогда с учетом приведенных данных о потерях для каждой пары сочетаний решений Р и обстановок О (табл. 2) и вероятности каждого варианта обстановки Р = 0,33 средневзвешенный показатель риска для каждого из решений будет равен:

R1 = 0,55 * 0,33 + 0,47 * 0,33 + 0 * 0,33 = 0,3366   ;    R2 = 0,33 * (0,5 + 0,62 + 0,1 ) = 0,2541                                                                 R3 = 0,33 * (0,45 + 0 + 0,3 ) = 0,2475                       ;   R4 = 0,33 * (0+ 0,72 + 0,05 ) = 0,2541        

Значит мin значение риска = 0,2475, R3  - наименее рискованно                                                

2. Мах критерий Вальда – используется в случаях, когда требуется гарантия, чтобы выигрыш в любых условиях оказывался не менее, чем наибольший из возможных в худших условиях.  Наилучшим решением будет то, для которого выигрыш окажется ма[ из всех мin при различных вариантах условий.

В качестве исходных данных при выборе вариантов решений по критерию Вальда используют выигрыш Аij, соответствующий каждой паре решений Р и обстановке О (см. табл. 1)

Выделим min отдачу по вариантам решений. Из таблицы видно, что мах из min результатов равен 0,25 и, следовательно, в соответствии с условием, необходимо выбрать вариант решений Р1, который обеспечивает этот результат. Это максимальный гарантийный результат, который может быть получен в данных условиях.

3. Мin критерий Сэвиджа – используется в тех случаях, когда требуется в любых условиях избежать большого риска. В соответствии с этим критерием предпочтение следует отдать решению, для которого потери, мах при различных вариантах условий, окажутся min. Этот критерий так же относится к разряду осторожных, но в отличие от критерия Вальда, который направлен на получение гарантированного выигрыша, критерий Сэвиджа минимализирует возможные потери.

В качестве исходных данных при выборе решений используют потери Hij соответствующие каждой паре решений Р и обстановки О (см. табл. 2).

Выделим по вариантам решений мах потери. Из таблицы следует, что min из мах потерь составляет 0,45 и, следовательно, предпочтение следует отдать варианту решений Р3

4. Критерий обобщенного максимума Гурвица – используется в случае, если требуется выбрать решение между худшим и лучшим вариантом, между осторожным поведением и поведением рискованным. При использовании данного критерия выбор осуществляется по показателю G, который должен быть максимальным: G = k * min Aij + (1 - k) * max Aij

k – коэффициент, который рассматривается как показатель оптимизма. Он может изменяться от 0 до 1: при k = 0 – линия поведения в расчете на лучшее, при k = 1 – линия поведения в расчете на худшее (пессимизм)  Aij – выигрыш соответствует i - решению при  j - варианте обстановки.

При k = 0 – ориентация на предельный риск;                                                                               

 при k = 1 – критерий Гурвица совпадает с критерием Вальда

Значение между 0 и 1 является промежутком между риском и осторожностью и выбираются в зависимости от обстановки и склонности к риску лица, принимающего решение. Таблица 3 – значение показателя j для различных коэффициентов k

Расчет показателя j для решения 1 и k = 0:

Выбираем линию поведения: