С какими операциями над множествами связаны операции сложения и вычитания натуральных чисел?

Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления) . Натуральные числа коммутативны и ассоциативны относительно сложения и умножения, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

Целые числа, получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём. Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления) .

Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается mathbb{R}. Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел mathbb{Q} при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величины. Кроме рациональных чисел, mathbb{R} включает множество иррациональных чисел mathbb I, не представимых в виде отношения целых. Кроме подразделения на рациональные и иррациональные, действительные числа также подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое трансцендентное число является иррациональным, каждое рациональное число — алгебраическим.

Комплексные числа mathbb{C}, являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде z = x + iy, где i — т. н. мнимая единица, для которой выполняется равенство i2 = − 1. Комплексные числа используются при решении задач квантовой механики, гидродинамики, теории упругости и пр.

Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение: mathbb{N}subset mathbb{Z}subset mathbb{Q}subset mathbb{R}subset mathbb{C}

Простые числа mathbb{P} - натуральные числа, которые в качестве множителей имеют только себя и единицу. Ряд простых чисел имеет вид: mathbb{P}=left{1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ..right} Любое натуральное число N можно представить в виде произведения степеней простых чисел: 121968=2^4*3^2*5^0*7^1*11^2. Это свойство широко используется в практической криптографии.