Истечение через отверстие в тонкой стенке

Рассмотрим истечение жидкости через отверстие диаметром d0 в стенке бака, расположенное на глубине Н0, в газовую среду с некоторым давлением р1 (рисунок 4.1, a). При этом предполагается, что если отверстие мало по сравнению с размерами бака и глубиной Н0, то другие стенки бака и свободная поверхность жидкости не влияют на приток жидкости к отверстию.

Характер истечения в этом случае показан на рисунке 4.1, б. Частицы жидкости приближаются к отверстию из всего близлежащего объема, двигаясь по различным траекториям. Некоторые из них при попадании в отверстие должны изменить направление своего движения на 90°. Так как каждая частица имеет массу, то мгновенно изменить направление своего движения она не может. Следствием этого является сжатие струи жидкости при истечении. Процесс сжатия струи практически завершается на расстоянии, равном примерно одному диаметру отверстия, и после этого струя приобретает цилиндрическую форму с диаметром поперечного сечения dc. Точно такими же будут условия истечения, если отверстие выполнено в толстой стенке со снятием фаски с внешней стороны.

Степень сжатия струи оценивается коэффициентом сжатия ε, равным отношению площади поперечного сечения струи к площади отверстия

.                                                                             (4.1)

Определим расход Q жидкости через рассматриваемое отверстие. Для этого запишем уравнение Бернулли для двух сечений (см. рисунок 4.1, а): сечения 0-0 и сечения 1-1. Сечение 0-0 — это открытая поверхность жидкости в баке, следовательно, в нем давление р0, а скорость жидкости можно считать равной нулю. Сечение 1-1 струи должно быть выбрано в той ее части, где струя уже приняла цилиндрическую форму; тогда в этом сечении давление равно давлению р1 окружающей среды. Если в качестве плоскости сравнения выбрать горизонтальную плоскость, проходящую через ось отверстия, то получим

,

где α — коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения скорости по сечению 1—1 струи;

 — средняя скорость жидкости в сечении 1—1;

 — коэффициент сопротивления отверстия, учитывающий торможение частиц жидкости о входную кромку отверстия.

Перенесем первое слагаемое правой части уравнения в левую часть и обозначим ее как расчетный напор , тогда

;

отсюда средняя скорость истечения жидкости

,                                                          (4.2)

где  — безразмерная величина, получившая название коэффициент скорости и  определяемая по формуле

.                                                              (4.3)

В случае истечения идеальной жидкости (α = 1 и  = 0) из формулы (4.3) следует, что  = 1, т.е. скорость истечения идеальной жидкости

.                                                                                  (4.4)

Таким образом, на основании сравнения формул (4.3) и (4.4) можно сформулировать физический смысл коэффициента скорости . Это величина, равная отношению средней скорости истечения реальной жидкости к скорости истечения идеальной жидкости в тех же условиях. Очевидно, что при истечении реальной жидкости коэффициент  всегда меньше единицы.

Расход Q при истечении определим как произведение средней скорости истечения реальной жидкости и фактической площади живого сечения струи. Используя формулы (4.1) и (4.3), получим

.

Произведение двух безразмерных коэффициентов  и  принято называть коэффициентом расхода и обозначать

.                                                                                               (4.5)

Тогда

.                                                                                        (4.6)

Из (4.6) следует, что

Таким образом, физический смысл коэффициента расхода  состоит в том, что он численно равен отношению действительного расхода Q при истечении жидкости к тому расходу Qu, который имел бы место при отсутствии сжатия струи и сопротивления истечению.

Следует обратить внимание на то, что Qu  не является расходом при истечении идеальной жидкости, так как идеальная жидкость отличается от реальной только отсутствием вязкости. Эффект же сжатия струи при истечении идеальной жидкости, связанный с инерционными свойствами частиц жидкости, в условиях отсутствия трения проявляется в еще большей степени.

На практике формула (4.6) используется достаточно редко из-за сложностей, возникающих при определении расчетного напора Hр, особенно в закрытых гидросистемах. Поэтому сделаем следующие преобразования. Обозначим внутри бака на уровне оси отверстия на некотором удалении от него (где скорость жидкости можно принять равной нулю) давление  (см. рисунок 4.1, а), тогда перепад давления Δр, под действием которого происходит истечение жидкости через отверстие, запишется в виде

.

Выразив из этой формулы напор Hp и подставив его в формулу (4.6), получим

.                                                                          (4.7)

При помощи формулы (6.7) решается основная задача — определение расхода жидкости при истечении. Она широко применяется при расчетах элементов машиностроительных гидросистем.

Таким образом, нами введены в рассмотрение три коэффициента — ,  и , характеризующие процесс истечения жидкости. Все они являются функцией числа Рейнольдса Re. Однако для маловязких жидкостей (воды, бензина и др.), истечение которых, как правило, происходит при больших значениях Re, эти коэффициенты практически постоянны:  = 0,64;  = 0,97;  = 0,62. При истечении минеральных масел через круглые отверстия в области квадратичного сопротивления можно принять = 0,65.