Истечение через малое отверстие в тонкой стенке при постоянном напоре

Рассмотрим различные случаи истечения жидкости из резервуаров, баков, котлов и т.п. через отверстия и насадки в атмосферу или в пространство, заполненное газом или той же жидкостью. При таком истечении потенциальная энергия жидкости в большей или меньшей степени превращается в кинетическую энергию струи. Нас, в основном, будут интересовать два параметра истечения: скорость и расход жидкости.

Пусть жидкость находится в большом резервуаре под давлением p0 (Рис. 29). В его стенке на достаточно большой глубине от свободной поверхности H0 имеется малое круглое отверстие, через которое жидкость вытекает в воздушное (газовое) пространство с давлением p1.

Пусть отверстие имеет форму, указанную на Рис. 30, то есть это сверление в тонкой стенке без обработки входной кромки или выполнено в толстой стенке, но входная кромка заострена с внешней стороны.

Рис. 29. Истечение из

резервуара через малое

отверстие

Рис. 30. Истечение через круглое

отверстие

Частицы жидкости приближаются к отверстию из всего прилежащего объема, двигаясь ускоренно по различным плавным траекториям. Струя отрывается от стенки у кромки отверстия и затем несколько сжимается. Цилиндрическую форму струя приобретает примерно на расстоянии одного диаметра отверстия от входной кромки. Причина сжатия струи – инерционность жидкости. Так как размер отверстия мал по сравнению с напором H0 и размерами резервуара, и следовательно, его боковые стенки и свободная поверхность не влияют на приток жидкости к отверстию, то наблюдается совершенное сжатие струи, то есть наибольшее.

Степень сжатия оценивается коэффициентом сжатия струи

Запишем уравнение Бернулли для свободной поверхности (сечение 0 – 0) и сечения струи, где она приняла цилиндрическую форму (сечение 1 – 1):

Скоростью жидкости в сечении 0 – 0 можно пренебречь. Введем расчетный напор

тогда

Отсюда

где j – коэффициент скорости:

Если жидкость идеальная, то x = 0, а a = 1, следовательно, j = 1 и скорость истечения идеальной жидкости

Рассмотрев полученные выражения, можно обнаружить, что коэффициент скорости – это отношение действительной скорости истечения к скорости идеальной жидкости

Действительная скорость истечения всегда меньше идеальной из-за сопротивления, следовательно, коэффициент скорости всегда меньше 1.

Распределение скоростей по сечению струи равномерно только в средней ее части, а наружный слой жидкости несколько затормаживается из-за трения о стенку. Опыты показывают, что в ядре струи скорость истечения практически равна идеальной Vи, поэтому введенный коэффициент скорости j следует рассматривать как коэффициент средней скорости.

Подсчитаем объемный расход

Произведение ej = m – коэффициент расхода. Тогда окончательно

где Dp – расчетная разность давлений, под действием которой происходит истечение.

Сложность использования этого выражения состоит в точной оценке коэффициента расхода m. Видно, что

Это означает, что коэффициент расхода есть отношение действительного расхода к тому расходу , который имел бы место при отсутствии сжатия струи и сопротивления. не является расходом идеальной жидкости, так как сжатие струи будет наблюдаться и для идеальной жидкости.

Действительный расход всегда меньше теоретического и, следовательно, коэффициент расхода m всегда меньше 1 из-за сжатия струи и сопротивления. Иногда больше влияет один фактор, иногда – другой.

Коэффициенты e, x, j  и m зависят, в первую очередь, от типа отверстия или насадка, а также, как все безразмерные коэффициенты в гидравлике, от основного критерия гидродинамического подобия – числа Re.

Характер изменения коэффициентов e, j  и m для круглого отверстия от Re и, подсчитанного по идеальной скорости истечения

 ,

представлен на Рис. 31.

Из графика видно, что с увеличением Reи, то есть с уменьшением влияния сил вязкости, коэффициент j возрастает в связи с уменьшением коэффициента сопротивления x, а коэффициент e уменьшается вследствие уменьшения торможения жидкости у кромки отверстия и увеличения радиусов кривизны поверхности струи на ее участке от кромки до начала цилиндрического участка. Значения коэффициентов j и e при этом асимптотически приближаются к значениям, соответствующим истечению идеальной жидкости, то есть при Reи ® ¥ значения j ® 1, а e ® 0,6. Коэффициент расхода m с увеличением Reи сначала увеличивается, что обусловлено крутым возрастанием j, а затем, достигнув максимума (mmax = 0,69 при Reи = 350), уменьшается в связи со значительным падением e и при больших значениях Reи практически стабилизируется на значении m = 0,60 ¸ 0,61.

Рис. 31. Зависимость e, j и m от Reи для круглого отверстия

в тонкой стенке

В области весьма малых значений Reи (Reи < 25) роль вязкости настолько велика, а торможение у кромки столь значительно, что сжатие струи отсутствует (e = 1) и m = j. В этом случае можно пользоваться формулой из теоретического решения Вюста

Для маловязких жидкостей (воды, бензина, керосина и т. п.), истечение которых обычно происходит при больших числах Re, коэффициенты истечения изменяются в узких пределах. Обычно в расчет берутся следующие осредненные значения: (e = 0,64; j = 0,97; m = 0,62; x = 0,065).