Динамика идеальной жидкости. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при установившемся движении) и его интегрирование

Для вывода уравнения движения жидкости обратимся к записанному ранее уравнению равновесия жидкости (в проекциях на координатные оси), иначе говоря:  . Поскольку в идеальной жидкости никаких сосредоточенных сил действовать не может, то последнее уравнение чисто условное. Когда равнодействующая отлична от 0, то жидкость начнёт двигаться с некоторой скоростью, т.е. в соответствии со вторым законом Ньютона, частицы жидкости, составляющие жидкое тело получат ускорение.

Тогда уравнение движения жидкости в проекциях на координатные оси можно записать в следующем виде:

Согласно основному положению о поле скоростей (метод Эйлера) для проекций скоростей движения жидкости можно записать следующее:

или (для установившегося движения жидкости):

Найдём первые производные от скоростей по времени, т.е. определим ускорения вдоль осей координат:

отметим, что:

'         *                                                                                                                                      /

Теперь подставив выражения для ускорений в исходную систему дифференциальных уравнений движения жидкости, получим систему уравнений Эйлера в окончательном ви-де2:

Теперь вновь обратимся к системе дифференциальных уравнений движения жидкости, умножив обе части 1-го уравнения на dx, 2-го уравнения на dy, 3-го уравнения на dz, получим:

и просуммировав эти уравнения по частям, получим:

2 При неустановившемся движении жидкости уравнения Эйлера дополняются первыми слагаемыми.

Преобразуем       левую       часть       полученного       уравнения,       полагая,       что

 в результате запишем

Слагаемые в правой части уравнения являются полными дифференциалами функций.

Теперь уравнение примет вид

Если из массовых сил на жидкость действует только сила тяжести, то, и

>       ,*

тогда получим:

После интегрирования получим:

 ?

разделив почленно все члены уравнения на g, получим так называемое уравнение Бернулли

Здесь величина Н называется гидродинамическим напором Величина гидродинамического напора постоянна для всех живых сечений элементарной струйки идеальной жидкости.