Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости

В потоке идеальной жидкости возьмем точку M с координатами x, y, z и выделим возле нее элемент жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда так, чтобы точка M была одной из его вершин (Рис. ). Ребра параллелепипеда параллельны координатным осям и равны dx, dy, dz. Составим уравнение движения этого элемента жидкости. Пусть на жидкость внутри него действует результирующая единичная массовая сила с составляющими X, Y и Z. Тогда массовые силы, действующие на выделенный объем будут равны этим составляющим, умноженным на массу элемента. Поверхностные силы будут равны давлениям, умноженным на площади граней параллелепипеда.

Рис.  Схема для вывода дифференциальных уравнений движения

идеальной жидкости.

Согласно второму закону Ньютона, уравнения движения вдоль координатных осей примут вид:

Приведя подобные и разделив уравнения на массу элемента rdxdydz, получим

Эта система дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости носит название уравнений Эйлера. Все члены этих уравнений имеют размерность ускорений, а смысл каждого уравнения состоит в следующем: полное ускорение частицы вдоль координатной оси складывается из ускорения от массовых сил и ускорения от сил давления.

Эти уравнения справедливы как для несжимаемой, так и для сжимаемой жидкости, как для стационарного, так и нестационарного течения.

Для стационарного течения умножим каждое из уравнений на соответствующие проекции элементарного перемещения, равные dx = Vxdt; dy = Vydt;   dz = Vzdt, и сложим уравнения. Получим

Выражение в скобках – это полный дифференциал давления dp, выражения в правых частях – дифференциалы от половин квадратов проекций скорости:

или

где U – силовая функция.

Рассмотрим частный случай этого уравнения, когда из массовых сил действует только сила тяжести:  X = Y = 0; Z = – g. Подставляя эти значения, получим:

,

или

Для идеальной жидкости плотность r = const, так как эта жидкость абсолютно несжимаемая. Поэтому предыдущее уравнение можно переписать в виде

Следовательно,            то есть мы получили уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости.